Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 1.11 trang 14 SBT đại số và giải tích 11


Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \cos x - \sin x\) là

A. \( - \dfrac{1}{2}\)                          B. \( - 1\)

C. \(1 - \sqrt 2 \)                   D. \( - \sqrt 2 \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.

Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(y=1-\cos x - \sin x\)

\(=1-(\cos x + \sin x)\)

\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)

\( =1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

\( = 1 - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( =1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - \sqrt 2 \\
\Rightarrow 1 - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge 1 - \sqrt 2
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(1-\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).

Đáp án C.

Chú ý:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.

Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.

Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.

Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.

Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua