Bài 40 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Đề bài

Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A(a;0;0),B(0;b;0),C = (0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :

\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)

Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\)

Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\)

Theo bất đẳng thức Cô-si :

\(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\)

\( \Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\)

Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Phương trình mặt phẳng

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.