Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11

Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Đề bài

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\), chứng minh \(I \in {d_3}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.

Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1,d_3\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2,d_3\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra

\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left( \beta \right)\\
{d_3} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\)

\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow I ∈ (β) = (d_1,d_3)\)

\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\).

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)

Gọi \(M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}\). Giả sử \(M \ne {\rm{ }}N\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left( P \right)\\
N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left( P \right)\\
M,N \in {d_3}
\end{array} \right.\quad \\
\Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset (P)
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) cùng thuộc mặt phẳng \((P)\) (trái với giả thiết \({d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) không đồng phẳng).

\( \Rightarrow\) Giả sử sai.

Vậy \(M \equiv {\rm{ }}N\) và \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy tại \(M\)

Vậy \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 40 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng
Bài 5 trang 53 SGK Hình học 11
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC.
Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11
Cho bốn điểm A,B,C và D không đồng phẳng. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD
Bài 7 trang 54 SGK Hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC
Bài 8 trang 54 SGK Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD
Bài 9 trang 54 SGK Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành...
Bài 10 trang 54 SGK Hình học 11
Cho hình chóp S. ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD
Lý thuyết hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp (h.2.4)
Bài 2 trang 53 SGK Hình học 11
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α ). Chứng minh M là điểm chung của (α ) với một mặt phẳng bất kì chứa d
Bài 1 trang 53 SGK Hình học 11
Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC
Câu hỏi 6 trang 52 SGK Hình học 11
Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24....
Câu hỏi 5 trang 48 SGK Hình học 11
Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao?...
Câu hỏi 4 trang 48 SGK Hình học 11
Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD...
Câu hỏi 3 trang 47 SGK Hình học 11
Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng BC (h.2.12)....
Câu hỏi 2 trang 47 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 2 trang 47 SGK Hình học 11. Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h.2.11)....
Câu hỏi 1 trang 45 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 1 trang 45 SGK Hình học 11. Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác...
Cách xác định một mặt phẳng
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C được kí hiệu là mp(ABC) hay (ABC)
Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
Khái niệm mở đầu
Tổng hợp lí thuyết về mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng và hình biểu diễn hình không gian ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu.