Bài 2 trang 19 SGK Hình học 11


Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), quay ngược chiều kim đồng hồ.

Ảnh của đường thẳng được xác định bởi ảnh của ít nhất 2 điểm thuộc đường thẳng ấy

Lời giải chi tiết

* Ta có \(A(2; 0)\) thuộc tia \(Ox.\)

Gọi \({Q_{\left( {O,90} \right)}}\;\left( A \right) = B\) thì \(B\) thuộc tia \(Oy\) và \(OA = OB\) nên \(B(0 ; 2).\)

* Lấy \(A(2;0), B(0;2)\) thuộc \(d\)

Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\,\Rightarrow B\left( {0;2} \right)\)

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A'\, \Rightarrow A'\left( {-2;0} \right)\)

Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\).

Mà \(B\left( {0;2} \right),A'\left( { - 2;0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow  - x + y = 2\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) \( \Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\).

Cách khác:

Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\)

Dễ thấy \(A(2;0)\) thuộc \(d\) vì \(2+0-2=0.\)

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\)\( \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\) thuộc \(d'.\)

Do \(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( d \right)\) \( \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\).

Mà \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là \(VTPT\) của \(d'.\)

\(d'\) đi qua \(B(0;2)\) và nhận \((1;-1)\) làm \(VTPT\) nên có phương trình:

\(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 46 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.