Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 5: Đạo hàm

Bài 5.123 trang 218 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 5.123 trang 218 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng...

Đề bài

Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

HD: Chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left( {ax + b} \right)'{f_z}'\left( {ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left( {ax + b} \right)\end{array}\)

Nên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)} = {a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\)

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left( {ax + b} \right)'.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^k}.a.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\end{array}\)

Suy ra đpcm.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store