Bài 5.123 trang 218 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 5.123 trang 218 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng...

Đề bài

Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

HD: Chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left( {ax + b} \right)'{f_z}'\left( {ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left( {ax + b} \right)\end{array}\)

Nên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)} = {a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\)

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left( {ax + b} \right)'.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^k}.a.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\end{array}\)

Suy ra đpcm.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài