Bài 2.5 trang 31 SBT đại số 10


Giải bài 2.5 trang 31 sách bài tập đại số 10. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

LG a

 \(y =  - 2x + 3\) trên R.

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét \(y = f(x) = 2x + 3\) trên R

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{2{x_2} + 3 - 2{x_1} - 3}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{2({x_2} - {x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2 > 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = 2x + 3\) đồng biến trên R.

LG b

 \(y = {x^2} + 10x + 9\) trên \(( - 5; + \infty )\);

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y = f(x) = {x^2} + 10x + 9}\\
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {{x_2}^2 + 10{x_2} + 9} \right) - \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 9} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{{x_2}^2 + 10{x_2} + 9 - {x_1}^2 - 10{x_1} - 9}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{x_2}^2 - {x_1}^2 + 10{x_2} - 10{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 10} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 10.}
\end{array}\)

Mà \({x_2},{x_1} >  - 5 \Rightarrow {x_2} + {x_1} + 10 > 0\) hay T > 0.

Vậy hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\) đồng biến trên \(\left( { - 5; + \infty } \right)\)

LG c

 \(y =  - \dfrac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và (2 ;3).

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và \((2;3)\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{1}{{{x_2} + 1}} - \frac{1}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} + 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} - \frac{{{x_2} + 1}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}
\end{array}\)

Dễ thấy:

+ Với \(x \in ( - 3; - 2)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in ( - 3; - 2) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 < 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( - 3; - 2)\)

+ Với \(x \in (2;3)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in (2;3) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 > 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( 2;3)\)


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Hàm số

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.