Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Đoàn Thượng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(A’B’C’D’\) là

  • A 0
  • B AC’
  • C BB’
  • D AB

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định qua B và vuông góc với \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(BB' = d\left( {B,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3}\). Giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng

  • A 9
  • B 12
  • C 18
  • D 24

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right),f''\left( x \right) = \left[ {f'\left( x \right)} \right]'\).  Thay x=1 vào .

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}\) bằng

  • A 0
  • B \( + \infty \)
  • C \( - 1\)
  • D 1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lý thuyết giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác SAC vuông cân tại A. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

  • A \(90^\circ \)
  • B \(30^\circ \)
  • C \(60^\circ \)
  • D \(45^\circ \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm hình chiếu của SC lên (ABC). Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu.

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của SC lên (ABC) là AC.

=> Góc giữa SC và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\).

Tam giác SAC vuông cân tại A nên \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 2 \right) = 1,g'\left( 2 \right) = 4\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 2\) bằng

  • A 0
  • B -3
  • C 5
  • D 3

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]' = g'\left( x \right) - f'\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{'_{x = 2}} = g'\left( 2 \right) - f'\left( 2 \right) = 3\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \left( {x > 0} \right)\) là

  • A \(\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt x }}\)
  • B \(\dfrac{1}{{\sqrt x }}\)
  • C \(\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
  • D \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Đạo hàm của hàm số \(y = 2x - \sqrt x \) là

  • A \(2 - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
  • B \(2 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
  • C \(2 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
  • D \(2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(y' = \left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\), \(\left( {kx} \right)' = k\) với k là hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Giá trị của \(\lim \dfrac{{3{n^2} + 2}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}\) bằng

  • A \(\dfrac{3}{2}\)
  • B \( + \infty \)
  • C \(\dfrac{3}{4}\)
  • D \(\dfrac{4}{3}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\).

Sử dụng kết quả \(\lim \dfrac{1}{n} = \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{3{n^2} + 2}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}} = \lim \dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}}{{4 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{3}{4}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Hàm số nào dưới đây liên tục tại \(x =  - 1\)?

  • A \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\)
  • B \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
  • C \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)
  • D \(f\left( x \right) = 3x + 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hàm đa thức luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = 3x + 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục tại x= -1.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A \(AA' = AC'\)
  • B \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)
  • C Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình thang cân.
  • D Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình tam giá.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với đáy.

Lời giải chi tiết:

BB’ là cạnh bên của ABC.A’B’C’ nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 2\). Đạo hàm của hàm số \(3f\left( x \right)\) tại điểm x=1 bằng

  • A 1
  • B -1
  • C 6
  • D 5

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\left[ {k.f\left( x \right)} \right]' = k.f'\left( x \right)\). Thay x=1

Lời giải chi tiết:

\(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 3.f'\left( x \right)\). Thay x=1 vào ta được:

\(g'\left( 1 \right) = 3.f'\left( 1 \right) = 6\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} - 1} \right)\) bằng

  • A 1
  • B 2
  • C 3
  • D 0

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thay x=1 vào biểu thức \({x^3} - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} - 1} \right) = {1^3} - 1 = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho f là hàm số liên tục tại \({x_0}\). Đạo hàm của f tại \({x_0}\) là:

  • A \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
  • B \(f\left( {{x_0}} \right)\)
  • C \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
  • D \(\dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Định nghĩa đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn này.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^2} + x\) là

  • A 2
  • B 2x
  • C 2x+1
  • D -2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

Tính \(y',\)\(y'' = \left( {y'} \right)'\).

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2x + 1 =  > y'' = 2\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Giá trị của \(\lim {\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^n}\) bằng:

  • A \( - \infty \)
  • B 1
  • C 0
  • D \( + \infty \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(q > 1 \Rightarrow \lim {q^n} =  + \infty \)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\dfrac{\pi }{2} > 1 \Rightarrow \lim {\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^n} =  + \infty \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} =  - 1,\lim {v_n} =  + \infty \). Giá trị của \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng

  • A 0
  • B -1
  • C \( + \infty \)
  • D 1

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} =  + \infty  \Rightarrow \lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \cot 2x\) là

  • A \(\dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
  • B \(\dfrac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}2x}}\)
  • C \(\dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
  • D \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\left( {\cot ax} \right)' = \dfrac{{ - a}}{{{{\sin }^2}ax}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {\cot 2x} \right)' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}ax}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2x\) tại điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) có hệ số góc bằng

  • A 0
  • B 2
  • C 1
  • D 3

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(y'\left( {{x_0}} \right)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x = {x_0}\).

Tìm \(y'\). Thay x=1 vào y’.

Lời giải chi tiết:

\(y' = 3{x^2} - 2 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian, cho tam giác ABC. Vecto \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC} \) bằng

  • A \(\overrightarrow {BA} \)
  • B \(\overrightarrow 0 \)
  • C \(\overrightarrow {AB} \)
  • D \(\overrightarrow {CA} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Quy tắc tam giác.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại C và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào dưới dây đúng?

  • A \(SB \bot \left( {ABC} \right)\)
  • B \(AB \bot \left( {SBC} \right)\)
  • C \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
  • D \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm mặt phẳng chứa 2 đường thẳng vuông góc với BC.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

\(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(BC \bot AC\).

=> \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian cho hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) tạo với nhau một góc \(60^\circ \), \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\) và \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\). Tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng

  • A 1
  • B 2
  • C \(\sqrt 3 \)
  • D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1.2.\cos 60^\circ  = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Khẳng định nào sau đây là SAI?

  • A Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn lớn hơn hoặc bằng \(0^\circ \) và nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ \)
  • B Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng với nhau thì góc giữa chúng bằng \(180^\circ \).
  • C Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
  • D Vecto \(\overrightarrow a \) khác vecto \(\overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lý thuyết góc giữa 2 đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn lớn hơn hoặc bằng \(0^\circ \) và nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ \)

Lời giải chi tiết:

Đáp án B sai vì: Góc giữa a và b không được quá \(90^\circ \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \cos 3x\) tại \(x = \dfrac{\pi }{2}\) là

  • A 3
  • B 0
  • C 1
  • D -3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đạo hàm của hàm lượng giác: \(\left( {\cos ax} \right)' =  - a.\sin ax\).

Thay \(x = \dfrac{\pi }{2}\) vào đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {\cos 3x} \right)' =  - 3\sin 3x\)

\( \Rightarrow y'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 3.\sin \left( {\dfrac{{3.\pi }}{2}} \right) = 3\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Đạo hàm của hàm số \(y= cosx\) là
A. \(\sin x\)

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm của cosx.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x - \sin x\) là

  • A \( - \sin x - \cos x\)
  • B \(\cos x - \sin x\)
  • C \(\sin x\)
  • D \(\sin x - \cos x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\\\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x;\left( {\sin x} \right)' = \cos x\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\cos x - \sin x} \right)'\\ = \left( {\cos x} \right)' - \left( {\sin x} \right)'\\ =  - \sin x - \cos x\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2} - 2\cos x\) là

  • A \(2x - 2\sin x\)
  • B \(x + 2\sin x\)
  • C \(2x + 2\cos x\)
  • D \(2x + 2\sin x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\\\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x;\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2x + 2\sin x\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có đường chéo \(AC = BD = 2a\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = OB\). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng

  • A 2a
  • B \(\sqrt 3 a\)
  • C a
  • D \(\sqrt 2 a\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính SO.

Lời giải chi tiết:

\(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = OB\) nên \(SO = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) và \(SO = OB = \dfrac{{BD}}{2} = a\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
  • B Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
  • C Có ba mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
  • D Có hai mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

+ Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau trong 1 mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B đúng vì: 2 cạnh của một tam giác phân biệt và cắt nhau trong mặt phẳng chứa tam giác đó. Khi đó đường thẳng vuông góc với 2 cạnh này thì vuông góc với mặt phẳng chứa 2 cạnh và vuông với cạnh còn lại.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right)\). Khi đó \(f'\left( x \right)\) bằng

  • A \(\dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{{x^2}}}\)
  • C \(\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)
  • D \(\dfrac{1}{{2{x^2}}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}\) bằng

  • A \( + \infty \)
  • B \( - \infty \)
  • C 3
  • D \( - 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tách \({x^2}\) và x ra khỏi tử và mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{x\left( {1 - \dfrac{2}{x}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^3}\) tại điểm x=2 bằng

  • A 24
  • B 9
  • C 12
  • D 16

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 6{x^2} \Rightarrow y'\left( 2 \right) = 24\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Đạo hàm của hàm số \(y=(2x+1)^2\) là

  • A \(y' = 2(2x + 1)\)
  • B \(y’= 4(2x+1)\)
  • C \(y' = 2x +1\)
  • D \(y'=4x\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right]' = 2.\left( {2x + 1} \right).2\)\( = 4\left( {2x + 1} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3\) và công bội \(q = \dfrac{1}{2}\). Tổng của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng:

  • A 1
  • B 6
  • C \(\dfrac{4}{3}\)
  • D \(\dfrac{3}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

\(S = \dfrac{3}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 6\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Đạo hàm của hàm số \(y=(x+1)x\) là

  • A \(2{x^2} + 1\)
  • B \(2x + 1\)
  • C \(2{x^2} + x\)
  • D \(4x + 1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left( {u.v} \right)' = u'.v - v'.u\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = x + x + 1 = 2x + 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho hình chóp S.ABCD có SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

  • A (SAD)
  • B (SAC)
  • C (SAB)
  • D (SCD)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc với (Q) thì (P) vuông góc với (Q).

Lời giải chi tiết:

\(SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2\sqrt x \)

Phương pháp giải:

\(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {{x^4} - 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} - 2.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)\( = 4{x^3} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với đáy, H là hình chiếu của A lên SO. Chứng minh đường thẳng AH vuông góc với (SBD).

Phương pháp giải:

+ Chứng minh \(BD \bot AH\).

+ Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau trong 1 mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\\BD \bot AC\end{array} \right\}\\ \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot AH \subset \left( {SAC} \right)\\AH \bot SO\end{array} \right\}\\ \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Câu 1:

Cho a và b là các số thực khác 0. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  - 2ax} \right) = 4\). Tìm a+b.

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp.

Chia cả tử và mẫu cho x.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  - 2ax} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\end{array}\)

Để giới hạn trên bằng 4 thì bậc của tử và mẫu phải bằng nhau. Tức là không còn \({x^2}\). Do đó \({a^2} = 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  - 2ax} \right) = 4\) nên a > 0 (vì nếu a< 0 thì giới hạn trên bằng vô cùng). Do đó a=1.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{bx + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {b + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  + 2a} \right)}}\\ = \dfrac{b}{{2 + 2a}} = 4\\ \Leftrightarrow b = 8 + 8a = 16 \Rightarrow a + b = 17\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 2\) có đồ thị là (C). Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).

Tính y’.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).

\(y' =  - 3{x^2} + 3\).

Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến.

\( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right)\).

Khi đó tiếp tuyến tại \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:

\(y = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {a;0} \right)\) nên phương trình:

\(0 = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\) luôn có 3 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Bùi Thị Xuân - TP Hồ Chí Minh

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Bùi Thị Xuân - TP Hồ Chí Minh với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP Hồ Chí Minh

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP Hồ Chí Minh với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bắc Ninh với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Phú Lương - Thái Nguyên

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Phú Lương - Thái Nguyên với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Ngô Gia Tự

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Ngô Gia Tự với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Kim Liên - Hà Nội

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Kim Liên - Hà Nội với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường Phan Ngọc Hiển

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Phan Ngọc Hiển với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Phú

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Phú với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.