Giải đề thi học kì 2 toán lớp 11 năm 2020 - 2021 trường Phan Ngọc Hiển

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} - 4{x^2}}}{{x + 1}}\).
  • B \(f\left( x \right) = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \).
  • C \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2}\).
  • D \(f\left( x \right) = \sqrt x \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm đa thức luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = {x^4} - 4x\) luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tính tổng

  • A   \(5\).           
  • B  \(2\).             
  • C   \(3\).          
  • D  \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

\(S = 1 + q + {q^2} +  \ldots  + {q^n} +  \cdots  = \dfrac{1}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}S = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} + \dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} +  \cdots  + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\\ \Rightarrow q = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

 Cho các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 3\) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 4\) . Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\) bằng

  • A  \(4\).
  • B \( - 3\).
  • C  \(3\).
  • D  -\(7\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = M;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = M \pm L\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} [k.f(x)] = k.M\)

Lời giải chi tiết:

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} [3f(x) - 4g(x)] = 3.3 - 4.4 =  - 7\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

 Cho hàm số \(y = \sqrt {10x - {x^2}} \). Giá trị của \(y'\left( 2 \right)\) bằng

  • A  \( - \dfrac{3}{4}\)
  • B  \(\dfrac{3}{2}\)
  • C  \(\dfrac{3}{4}\)
  • D  \( - \dfrac{3}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm \(y',(\sqrt u )' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \dfrac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}\end{array}\)

Thay \(x = 2\) vào \(y'\):

\(y'(2) = \dfrac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \dfrac{3}{4}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

 Cho phương trình  \({x^3} - 3{x^2} + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A  Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
  • B  Phương trình vô nghiệm
  • C  Phương trình có đúng một nghiệm
  • D  Phương trình có đúng hai nghiệm \(x = 1;x = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 3\)

\(f(0) = 3\)

\(f( - 1) =  - 1\)

\(f(2) =  - 1\)

\(f(3) = 3\)

\( \Rightarrow f( - 1) \cdot f(0) < 0\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) = 0,{x_1} \in \left( { - 1;0} \right)\)

\(f(0) \cdot f(2) < 0 \Rightarrow f(z) = 0,{x_2} \in (0;2)\)

\(f(2) \cdot f(3) < 0 \Rightarrow f\left( {{x_3}} \right) = 0,{x_3} \in (2;3)\)

Vậy phương trình  \(f(x) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

 Tiếp tuyến với đồ thị \(y = {x^3} - {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 2\) có phương trình là

  • A  \(y = 16x - 56\).
  • B  \(y = 16x + 20\).
  • C   \(y = 20x + 14\).
  • D   \(y = 20x + 24\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính \(y' = f'\left( x \right),y'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right),\)\(y\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)..

Tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\y' = 3{x^2} - 2x\\y'\left( { - 2} \right) = 16\\y\left( { - 2} \right) =  - 12\end{array}\)

Tiếp tuyến tại \({x_0} =  - 2\) là:

\(y = 16\left( {x + 2} \right) - 12 = 16x + 20\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

 .Giới hạn  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3x + 5} }}{{4x - 1}}\).

  • A  \(\dfrac{1}{4}\).
  • B  \( - \dfrac{1}{4}\).
  • C  \(1\).
  • D  \(0\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa \(\left| x \right|\) ra ngoài căn bậc hai: \(\sqrt {{x^2} + 3x + 5}  = \left| x \right|\sqrt {1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} \)

Vì \(x \to  - \infty \) nên \(\left| x \right| =  - x\).

Rút gọn với x ở mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3x + 5} }}{{4x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{|x|\sqrt {1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x \cdot \left( {4 - \dfrac{1}{x}} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - x \cdot \sqrt {1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x \cdot \left( {4 - \dfrac{1}{x}} \right)}}\\ =  - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A  \(AG \bot B'C'\).
  • B  \({\rm{AG}} \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
  • C  \({\rm{AA}}' \bot \left( {ABC} \right)\).
  • D  \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Do  ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều  nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow BB' \bot AG\left( {AG \subset \left( {ABC} \right)} \right)\)

Do ABC là tam giác đều nên G vừa là trọng tâm vừa là trực tâm. Do đó:

\(\left. \begin{array}{l}AG \bot BC\\AG \bot B{B^\prime }\end{array} \right\} \Rightarrow AG \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\)

\( \Rightarrow AG \bot {B^\prime }{C^\prime }\)

\(A{A^\prime } \bot (ABC)\) vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ đứng.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

 Cho \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(x\) sao cho \(f'\left( x \right) < 0\)

  • A   \(0 < x < 2\).
  • B   \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array} \right.\).
  • C   \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 1\end{array} \right.\).
  • D   \(x < 1\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm đạo hàm \(f'(x)\).

Sử dụng bảng quy tắc đạo hàm.

Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'(x) = 3{x^2} - 6x\\f'(x) < 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0\\ \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

 Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(J\) là trung điểm của \(BM\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A   \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
  • B   \(BC \bot \left( {SAJ} \right)\).
  • C   \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
  • D   \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính chất tam giác cân: Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh là đường cao.

Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

\(\Delta ABC\) cân tại A

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot AM\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

 Cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)), đáy\(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết\(SA = a,\)\(AD = 2a,\)\(AB = a\sqrt 3 \,.\) Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\) bằng

  • A  \(\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}\).                    
  • B  \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).                       
  • C  \(\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).                      
  • D  \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Kẻ \(AH \bot SD\)

+ Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), \(AB//\left( {SCD} \right)\)

+ Nếu \(AB//\left( \alpha  \right)\) thì \(d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)\).

+ Trong tam giác \(ABC\) vuông tại A có đường cao AH thì: \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot SD\)

\(\left. \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow CD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD\) nên \(AH \bot \left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l}AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\\\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

 Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên  \(\mathbb{R}\) Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 21\)  và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính \(h'\left( 1 \right)\)

  • A  \( - 2018\).
  • B  \(2021\).
  • C  \( - 2021\).
  • D  \(2019\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm \(g'\left( x \right)\),\(h'\left( x \right)\) theo \(f'\left( x \right)\).

\(g'\left( 1 \right)\), \(g'\left( 2 \right)\), \(h'\left( 1 \right)\) theo \(f'\left( 1 \right)\), \(f'\left( 2 \right)\) và \(f'\left( 4 \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\\h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\\g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21\\g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\\ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\\h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)\\ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

 Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là

  • A  \(\dfrac{{1 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
  • B  \(\dfrac{{1 - 3x}}{{{x^2} + 1}}\).
  • C  \(\dfrac{{1 + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
  • D  \(\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc đạo hàm:

\({\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}};(\sqrt u )' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \left( {x + 3} \right)\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\\ = \dfrac{{1 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

  Khẳng định nào sau đây Sai?

  • A  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} + 1}} = \dfrac{1}{2}\)
  • B  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right) =  - \infty \).
  • C  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{2x + 1}} = \dfrac{1}{2}\).
  • D \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 3}}{{2x + 1}} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa \({x^2}\) ra ngoài ngoặc.

Sử dụng kết quả: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } k.{x^2} =  + \infty \left( {k > 0} \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c\) với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

 Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right)\) bằng

  • A  \( + \infty \).            
  • B  \(3\).              
  • C  \( - \infty \).               
  • D  \(1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) với f(x) là đa thức.

Thay x=1 vào 2x+1.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right) = 2.1 + 1 = 3\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

  Hàm số \(y = x - \dfrac{4}{x}\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)  bằng

  • A   \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\)
  • B   \(\dfrac{{ - {x^2} + 4}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\).
  • C   \(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2}}}{\rm{  }}\)
  • D   \(\dfrac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc đạo hàm:

\(x' = 1;{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 1 + \dfrac{4}{{{x^2}}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

 Cho cấp số cộng \(2;5;8;11;14...\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

  • A 3
  • B 14
  • C -3
  • D 2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Công sai của CSN: \(d = {u_{n + 1}} - {u_n}\) \(\forall n \ge 1\)

Lời giải chi tiết:

\({u_1} = 2;{u_2} = 5\).

Vì đây là cấp số cộng nên công sai \(d = {u_2} - {u_1} = 3\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\) bằng

  • A  \(0\).
  • B   \(\dfrac{1}{2}\).
  • C   \( + \infty \).
  • D   \( - \infty \).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử (x+1).

+ Khử x+1.

+ Thay \(x =  - 1\) vào hàm số sau khi khử x+1.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{x + 1}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

 Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - x + 1} \right)\) bằng

  • A  \( + \infty \).                       
  • B  1.                                
  • C  \( - \infty \).                          
  • D  \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa \({x^3}\) ra ngoài ngoặc.

Sử dụng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{1}{{{x^3}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c\) với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - x + 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}.\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\).

  • A  \(\dfrac{1}{5}\).                         
  • B  \(\dfrac{1}{2}\).                              
  • C  \(0\).                               
  • D  \(\dfrac{{ - 3}}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n.

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\)\( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( { - 3 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{2}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

 Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 3\) và \(g'\left( 1 \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) bằng

  • A  4.                            
  • B  -2.                             
  • C  3.                                 
  • D  2

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\({[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(x) - {g^\prime }(x)\)

Thay x=1 vào đạo hàm vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

\({[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(1) - g(1) = 3 - 1 = 2\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

  Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số\(y = {x^3} - 4{x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng

  • A   – 5.
  • B   –4.
  • C   5.
  • D   4

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm.

Thay x=1 vào đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\({y^\prime } = 3{x^2} - 8x\)

\(y(1) =  - 5\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

 Hàm số: \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + 2021\)có đạo hàm là

  • A  \(y' = 8{x^3} - 3x\).
  • B \(y' = 2{x^3} - {x^2}\)
  • C \(y' = 2{x^3} - {x^2} + 1\)
  • D \(y' = {x^3} - x + 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

\({y^\prime } = 4 \cdot \dfrac{{{x^5}}}{2} - \dfrac{{3{x^2}}}{3} + 1\)

\( = 2{x^3} - {x^2} + 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

 Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt {15} a\) (tham khảo hình bên)

Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng

  • A  \(90^\circ \).
  • B  \(45^\circ \).
  • C  \(30^\circ \).
  • D  \(60^\circ \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm hình chiếu của SC lên (ABC)  .

Góc giữa SC và (ABC)  là góc giữa SC và hình chiếu.

Tìm \(\tan \widehat {SCA}\)=>\(\widehat {SCA}\).

Lời giải chi tiết:

\(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy nên hình chiếu của SC lên (ABC) là AC.

Góc giữa SC và (ABC)  là \(\widehat {SCA}\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 5 \)

\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{a\sqrt 5 }} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^0}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

 Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_1} = 3\) và công sai của cấp số cộng \(d = 3\). số hạng thứ 5 của cấp số cộng đã cho bằng

  • A  \(15.\)
  • B  \(9.\)
  • C  \(18.\)
  • D  \(12.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\({u_{n + 1}} = {u_n} + d\forall n \ge 1\)

Lời giải chi tiết:

\({u_5} = {u_1} + 4d\)\( = 3 + 4.3 = 15\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

  Cho \(a,\,b\) là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2} - a - b\)

  • A  \(400\).
  • B  \(225\).
  • C  \(320\).
  • D  \(325\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức: \(a{x^2} + bx - 5\) cho \((x - 1)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20 \Leftrightarrow \)Phần dư bằng 0 và thay x=1 vào thương thì bằng 20.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx - 5\\ = (ax + a + b)(x - 1) + a + b - 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.1 + b + a = 20\\a + b - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 15}\\{6 =  - 10}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} - a - b = 320\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

  Tìm m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\quad \,khi\;x \ne  - 2\\\quad m\quad \quad khi\;x =  - 2\end{array} \right.\) liên tục tại  điểm \({x_0} =  - 2\)

  • A  \(m = 4\).
  • B  \(m = 0\).
  • C  \(m =  - 4\).
  • D  \(m = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \({x_0}\)\( \Leftrightarrow f({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f( - 2) = m\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} (x - 2) =  - 4\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{5}{{x - 1}}\) bằng

  • A  \(2\).                           
  • B  \( - \infty \).                            
  • C  \( + \infty \).                           
  • D  \( - 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{1}{{x - 1}} =  - \infty \)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{5}{{x - 1}} =  - \infty \)

Vì \(x - 1 < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) khi \(x \to {1^ - }\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

 Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

  • A   \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD} \).
  • B   \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BC'} \).
  • C   \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \).
  • D   \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BA'} \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD} '\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hàm số  liên trục trên  ,  có đúng hai nghiệm  . Hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của  để phương trình  có nhiều nghiệm nhất?

  • A 27.
  • B 43.
  • C 5.
  • D 26

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tính\(g'(x)\): \(g{'_x} = u{'_x}.g{'_u}\).

+) Phương trình bậc hai có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

+) Số các số nguyên từ m đến n là: n-m+1 số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình

\(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.\) đều có 2 nghiệm.

\({x^2} + 4x - m = 1\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\(\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - 5\)

\({x^2} + 4x - m = 2\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\(\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m >  - 6\)

Vậy \(m >  - 5\)

Mà \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) nên \(m\) là các số nguyên từ -4 đến 21.

Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2x + 6}}{{{x^2} + x - 6}}\)

Phương pháp giải:

Khử nhân tử \(x + 3\) của tử và mẫu.

Thay \(x =  - 3\) vào giới hạn sau khi đã khử \(x + 3\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2x + 6}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{ - 2}}{5}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tính đạo hàm các hàm số sau

a)  \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}\)

b) \(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc đạo hàm: \({\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)

b) Sử dụng quy tắc đạo hàm: \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u;\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(y = \dfrac{{2x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}\)\( \Rightarrow y' = \dfrac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right){{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^{}}}}\)

\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2{x^2} - 6x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2}}}\)

b)

\(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \)

\( \Rightarrow y' = {\left( {2x - 1} \right)^\prime }\sqrt {1 + {x^2}}  + \left( {2x - 1} \right){\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime }\)

\( = 2\sqrt {1 + {x^2}}  + \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

\( = \dfrac{{4{x^2} - x + 2}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Tính đạo hàm của hàm số trên.

b) Viết phương tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc đạo hàm

b)

+) Tính \(f'\left( x \right);f\left( 0 \right);f'\left( 0 \right)\)

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a)

\(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\)

\( \Rightarrow y' = f'\left( x \right) = {x^2} + x - 12\)

b)

Với \({x_0} = 0\) ta được \({y_0} = f\left( 0 \right) =  - 1\) .

Tính được: \(f'\left( 0 \right) =  - 12\)

Phương trình tiếp tuyến : \(y = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) - 1\) hay \(y =  - 12x - 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SA vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SD = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm SB.

a) Chứng minh: \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Chứng minh: \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Phương pháp giải:

a) Tìm 2 đường thẳng trong (SAD) và vuông góc với CD.

b) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)

c)

+) Tìm mặt phẳng đồng thời vuông góc với \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

+) Tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

+) Góc giữa \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa 2 giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

a)

\(ABCD\) là  hình vuông\( \Rightarrow CD \bot AD\) (1)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CD \bot SA\)     (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b)

\(ABCD\) là  hình vuông\( \Rightarrow BD \bot AC\) (3)

Ta lại có: \(BD \bot SA\) (Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\), mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\)  nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

c)

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\)

Ta lại có: \(\left( {MCD} \right) \supset CD\parallel AB \subset \left( {SAB} \right)\)

Nên \(\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\)\(\left( {MN\parallel AB} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD \subset \left( {ABCD} \right)\\CD \bot ND \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {MCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)}\)\( = \widehat {\left( {AD,ND} \right)} = \widehat {NDA} = \alpha \)

Xét tam giác NDA vuông tại N có: \(AN = \dfrac{{SA}}{2} = a\), \(AD = a\)

(do  \(SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\); N là trung điểm SA).

Nên \(\Delta NAD\) vuông cân tại A \( \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).

Vậy góc giữa \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay

Gửi bài