Lớp 12
Lớp 11
Lớp 10
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Xem thêm: ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\)
b) \( f(x) = x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\)
c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0; \, +∞).\)
d) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\displaystyle\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.
+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).
\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)
Lời giải chi tiết
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 \) \(⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)
\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)
So sánh các giá trị:
\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);
\(f(2) = -19\), \(\displaystyle f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( - 1) = 8 \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = - 19 \cr} \)
b) \(f(x) = x^2 \ln x \) \(⇒ f’(x)= 2x\ln x + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.
Do đó:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)
c) \(f(x)= xe^{-x}\) \(⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:
\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)
nên: \(\displaystyle \mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}.\)
Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} \ge 0, ∀ x ∈ [0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra
\(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)
d) \(f(x) = 2\sin x + \sin2 x \) \(⇒ f’(x)= 2\cos x + 2\cos 2x\)
\(f’(x) = 0 ⇔ \cos 2x = -\cos x \) \( ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)
\( \displaystyle ⇔ x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)
Trong khoảng \(\displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \)
So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0\); \(\displaystyle f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) = - 2\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr} \)
Loigiaihay.com
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau:
Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình sau
Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần
Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số
Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
