Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12


Giải bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

LG a

a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\)

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 \) \(⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)

\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)

So sánh các giá trị: 

\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);

\(f(2) = -19\), \(\displaystyle f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( - 1) = 8 \cr 
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = - 19 \cr} \)

LG b

b) \( f(x) = x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = x^2 \ln x \) \(⇒ f’(x)= 2x\ln x + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.

Do đó:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr 
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)

LG c

c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0; \, +∞).\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x)= xe^{-x}\) \(⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:

\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)

nên: \(\displaystyle \mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}.\)

Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} \ge 0, ∀ x ∈ [0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra

\(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

LG d

d) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\displaystyle\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = 2\sin x + \sin2 x  \) \(⇒ f’(x)= 2\cos x + 2\cos 2x\)

\(f’(x) = 0 ⇔ \cos 2x = -\cos x \) \( ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)

\( \displaystyle ⇔ x \in \left\{ { - \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)

Trong khoảng \(\displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)

So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0\); \(\displaystyle f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  - 2\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr 
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.