Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu

Giải bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12. Chứng tỏ rằng phương trình f(x)= 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

Đề bài

Cho hàm số:  \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)  = 0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S\) và \(P\) theo \(a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nhẩm nghiệm, đưa phương trình \(f(x)=0\) về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.

b) Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình \(f(x)=0.\)

+) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.  

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 \) \(= (x – 1)(ax – a- 2)\)

nên phương trình \(f(x) = 0\) luôn có hai nghiệm thực là: \(x = 1\) và \( \displaystyle x = {{a + 2} \over a}.\)

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

\(\displaystyle S = {{2a + 2} \over a},P = {{a + 2} \over a}\)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(\displaystyle S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\)

- Tập xác định : \((-∞; 0) ∪ (0,\; +∞)\)

- Sự biến thiên: \(\displaystyle S' =  - {2 \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in ( - \infty ; 0) \cup (0; + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞; 0)\) và \((0; +∞)\)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr} \)

Vậy \(S = 2\) là tiệm cận ngang

- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} (2 + {2 \over a}) = - \infty \cr} \)

Vậy \(a = 0\) là tiệm cận đứng.

- Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \(a = -1\)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(\displaystyle P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

 \(\displaystyle P' = {{ - 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S =  - \infty  ⇒ \) Tiệm cận đứng: \(a = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to  \pm \infty } S = 1⇒\) Tiệm cận ngang: \(P = 1\)

Đồ thị hàm số:

Ngoài ra: đồ thị hàm số \(\displaystyle P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(\displaystyle S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\) dọc theo trục tung xuống phía dưới \(1\) đơn vị.

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.