Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12


Giải Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

LG a

a) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 24}} {\tan ({\pi  \over 4} - 4x)dx} \) (đặt \(u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(\displaystyle u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\tan \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)dx}  \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}dx} \)

Đặt \(u = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)\) \( \Leftrightarrow du = 4\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} \Rightarrow u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{du}}{{4u}}}  = \left. {\frac{1}{4}\ln \left| u \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{4}\left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\ln \sqrt 3 \)

LG b

b) \(\displaystyle \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \) (đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \dfrac{3}{5}\tan t \) \( \displaystyle \Leftrightarrow dx = \frac{3}{{5{{\cos }^2}t}}dt = \frac{3}{5}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{5}}^{\frac{3}{5}} {\frac{{dx}}{{9 + 25{x^2}}}} \) \(\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt}}{{5\left( {9 + 25.\frac{9}{{25}}{{\tan }^2}t} \right)}}} \)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}{{5.9\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}dt} \) \(\displaystyle = \frac{1}{{15}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. {\frac{t}{{15}}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{{180}}\)

LG c

c) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\) (đặt \(u = \cos x\))

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \cos x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx}  \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){{\cos }^4}x\sin xdx} \)

Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow u = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow I = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du} \) \(= \int\limits_0^1 {\left( {{u^4} - {u^6}} \right)du}\)

\(\displaystyle I = \left. {\left( {\frac{{{u^5}}}{5} - \frac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 = \frac{2}{{35}}\)

LG d

d) \(\displaystyle \int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi  \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \) )

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x}  \Leftrightarrow {u^2} = 1 + \tan x \) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2udu = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.2udu}  = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} \) \(\displaystyle = 2\left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{2}{3}.2\sqrt 2  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài