Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Giải Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

Đề bài

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 24}} {\tan ({\pi  \over 4} - 4x)dx} \) (đặt \(u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\) )

b) \(\displaystyle \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \) (đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\) )

c) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\) (đặt \(u = \cos x\))

d) \(\displaystyle \int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi  \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \) )

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt \(\displaystyle u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\)

b) Đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\)

c) Đặt \(u = \cos x\)

d) Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\displaystyle I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\tan \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)dx}  \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}dx} \)

Đặt \(u = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)\) \( \Leftrightarrow du = 4\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} \Rightarrow u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{du}}{{4u}}}  = \left. {\frac{1}{4}\ln \left| u \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{4}\left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\ln \sqrt 3 \)

b) Đặt \(x = \dfrac{3}{5}\tan t \) \( \displaystyle \Leftrightarrow dx = \frac{3}{{5{{\cos }^2}t}}dt = \frac{3}{5}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{5}}^{\frac{3}{5}} {\frac{{dx}}{{9 + 25{x^2}}}} \) \(\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt}}{{5\left( {9 + 25.\frac{9}{{25}}{{\tan }^2}t} \right)}}} \)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}{{5.9\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}dt} \) \(\displaystyle = \frac{1}{{15}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. {\frac{t}{{15}}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{{180}}\)

 c) Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx}  \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){{\cos }^4}x\sin xdx} \)

Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow u = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow I = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du} \) \(= \int\limits_0^1 {\left( {{u^4} - {u^6}} \right)du}\)

\(\displaystyle I = \left. {\left( {\frac{{{u^5}}}{5} - \frac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 = \frac{2}{{35}}\)

 d) Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x}  \Leftrightarrow {u^2} = 1 + \tan x \) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2udu = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.2udu}  = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} \) \(\displaystyle = 2\left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{2}{3}.2\sqrt 2  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

 loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.