Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuô..

Bài 7 trang 122 SGK Hình học 11


Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

a) Tính khoảng cách từ \(S\)  đến mặt phẳng \((ABCD)\) và độ dài cạnh \(SC\)

b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\)

c) Chứng minh \(SB\) vuông góc với \(BC\)

d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\). Tính \(\tan\varphi\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Sử dụng định lí Pitago tính \(SH\) và \(SC\).

b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

c) Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh \(\Delta SBC\) vuông tại B.

d) Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\)

Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\)

\(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).

Ta có: \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\)

\(CH = AC - AH = 2AO - AH \) \(= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác vuông \(SHC\): \(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

b) \(\left. \matrix{SH \bot (ABCD) \hfill \cr SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)

c) Ta có:

\(S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\)

\(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow SB \bot BC.\)

Cách khác:

Ta có: \(SH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\).

\(H\) là tâm tam giác \(ABD\) nên \(BH\bot AD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AD\\
SH \bot AD
\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SBH} \right)\)

Mà \(BC//AD\) nên \(BC \bot \left( {SBH} \right)\) 

\( \Rightarrow BC \bot SB\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\
SO \bot BD,AC \bot BD\\
SO \subset \left( {SBD} \right)\\
AC \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.\)

Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\)

Ta có:

\( SH  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

\(\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 15 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store