Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuô..

Bài 6 trang 122 SGK Hình học 11


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\)  cạnh \(a\).

a) Chứng minh \(BC’\) vuông góc với mặt phẳng \((A’B’CD)\)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của \(AB’\) và \(BC’\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BC' \bot B'C;\,\,BC' \bot A'B'\).

b) Xác định mặt phẳng \((AB'D')\) chứa \(AB'\) và song song \(BC'\), tìm hình chiếu của \(BC'\) trên mặt phẳng \((AB'D')\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có tứ giác \(BCC'B’\) là hình vuông nên \(BC’ ⊥ B’C\)   (1)

Mặt khác \(A’B’ ⊥ (BCC’B’)⇒ A’B’ ⊥ BC’\)                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC’⊥ (A’B’CD)\)

b) Do \(AD’//BC’\) nên mặt phẳng \((AB’D’)\) là mặt phẳng chứa \(AB’\) và song song với \(BC’\).

Ta tìm hình chiếu của \(BC’\) trên \(mp (AB’D’)\)

Gọi \(E, F\) là tâm của các mặt bên \(ADD'A’\) và \(BCC'B’\)

Từ \(F\) kẻ \(FI ⊥ B’E\). Ta có \(BC’ //AD'\) mà \(BC’ ⊥ (A’B’CD)\)

\(⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD)\) và \(IF ⊂(A’B’CD)\)

\(AD’ ⊥ IF\)   (3)

\(EB’⊥IF\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : \(IF ⊥ (AB’D’)\)

Vậy \(I\) là hình chiếu của \(F\) trên \(mp (AB’D’)\). Qua \(I\) ta dựng đường thẳng song song với \(BC’\) thì đường thẳng này chính là hình chiếu của \(BC’\) trên mp \((AB’D’)\)

Đường thẳng qua \(I\) song song với \(BC’\) cắt \(AB’\) tại \(K\). Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(IF\), đường này cắt \(BC’\) tại \(H\). \(KH\) chính là đường vuông góc chung của \(AB’\) và \(BC’\). Thật vậy:

\({\rm{IF}} \bot (AB'D') \Rightarrow IF ⊥ AB'\) và \(KH // IF\) suy ra \(KH ⊥ AB'\)

\(\left. \matrix{
BC' \bot (A'B'CD) \hfill \cr
{\rm{IF}} \subset {\rm{(A'B'CD)}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
{\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr
{\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\)

Tam giác \(EFB’\) vuông góc tại \(F\), \(FI\) là đường cao thuộc cạnh huyền nên \(\dfrac{1}{{I{F^2}}} = \dfrac{1}{{F{B^2}}} + \dfrac{1}{{F{E^2}}}\) với \(\left\{ \matrix{FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr {\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\)

Ta tính ra: \({\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store