Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 3. Dạng lượng giác của số phức. Ứng dụng

Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số

Đề bài

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số \({z_1},{z_0}\)  thì \({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}\)

Lời giải chi tiết

Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\) tức là khi và chỉ khi \({z_0} \ne 0\) và nếu đặt \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(\left| \alpha  \right| = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Mặt khác, khi \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha \)

\( \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha  + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha  = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha  \right\rfloor  = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\) ( \(z \ne 0\)).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store