Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 3. Dạng lượng giác của số phức. Ứng dụng

Câu 4.30 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Ác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

Đề bài

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\)

Lời giải chi tiết

\({{z - 2} \over {z + 2}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\) khi và chỉ khi \(z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = l\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\), l là số thực dương.

Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì

 \(\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left( { > 0} \right)  \cr&  \Leftrightarrow 4y = \left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)\sqrt 3  \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \)

Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn \({2 \over {\sqrt 3 }}i\) và có bán kính bằng \({4 \over {\sqrt 3 }}\) nằm ở phía trên trục thực.

Chú ý: A’, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA’ (M là điểm biểu diễn z) bằng \({\pi  \over 3}\). Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc \({\pi  \over 3}\) căng trên đoạn A’A (không kể A, A’) (h.4.11)

                                                   

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store