Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 3. Dạng lượng giác của số phức. Ứng dụng

Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Biểu diễn hình học các số

Đề bài

Biểu diễn hình học các số \(5 + i\)  và \(239 + i\) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện \(0 < a < {\pi  \over 2},0 < b < {\pi  \over 2}\) và \({\mathop{\rm tana}\nolimits}  = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits}  = {1 \over {239}}\) thì \(4a - b = {\pi  \over 4}\)

Lời giải chi tiết

Điểm M để biểu diễn số \(5 + i\), điểm N biểu diễn số \(239 + i\) thì \(\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a\), tan(\({\rm{O}}x,ON\) ) \( = {1 \over {239}} = \tan b\).

Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\), còn \(0 < a < {\pi  \over 2}\), \(0 < b < {\pi  \over 2}\) nên một acgumen của \(5 + i\) là \(a\), một acgumen của \(239 + i\) là \(b\) . Từ đó một acgumen của \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}\) là \(4a - b\). 

Ta có    \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\), mà \(\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i\)

Nên   \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)\)

Số    \(2(1 + i)\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 4}\)

Vậy \(4a - b = {\pi  \over 4} + k2\pi \) \((k \in Z)\).

Dễ thấy \(0 < b < a < {\pi  \over 4}\), suy ra \(4a - b = {\pi  \over 4}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store