Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1.14 trang 12 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh rằng hàm số  \(f(x) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

LG b

Chứng minh rằng

\(\tan  - x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\), tức là

\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm

\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} - {\tan ^2}x - {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store