Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1.12 trang 12 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\)

LG a

Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có:                     

\(f'(x) = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\)

\( = \sin x(2\cos x - 1),x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vì khi đó sinx > 0 nên

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi  \over 3}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

LG b

Chứng minh rằng với mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right)\), phương trình

\({\sin ^2}x + cosx = m\)

có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

+) Hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\), \(f\left( {{\pi  \over 3}} \right) = {5 \over 4}\) và \(f(\pi) = -1\).

Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với  mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 1;{5 \over 4}} \right)\) tồn tại một số thực \(c \in \left( {{\pi  \over 3};\pi } \right)\) sao cho f(c) = 0.

Số c là nghiệm của phương trình trong b).

Vì hàm số f  nghịch biến trên \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.

+) Vì với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 3}} \right)\) ta có \(1 \le f(x) \le {5 \over 4}\) nên phương trình đã nêu không có nghiệm \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store