Bài 6 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.


Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng đi qua CD cất các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x.

LG a

Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, x.

Lời giải chi tiết:

   

Do \(AB//CD,{\rm{ }}AB \subset \left( {SAB} \right),{\rm{ }}CD \subset \left( {MNCD} \right)\) nên hai mặt phẳng (SAB) và (MNCD) cắt nhau theo giao tuyến MN song song với AB và CD.

Mặt khác \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot DM.\)

Vậy MNCD là hình thang vuông.

Vì MN//AB nên ta có \({{MN} \over {AB}} = {{SM} \over {SA}}.\)

Vây \(MN = {{AB.SM} \over {SA}} = {{aSM} \over a} = SM = a - x.\)

\({S_{MNCD}} = {1 \over 2}\left( {MN{\rm{ }} + {\rm{ }}CD} \right).DM\)

\(\eqalign{  &  = {1 \over 2}\left( {a - {\rm{ }}x + a} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {2a - {\rm{ }}x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}} . \cr} \)

LG b

Xác định giá trị của  để thể tích của hình chóp S.MNCD bằng \({2 \over 9}\) lần thể tích hình chóp S.ABCD.

Lời giải chi tiết:

\({S_{ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SA = {1 \over 3}{a^3}\)

\(=  > {V_{S.ACD}}{\rm{ }} = {V_{S.ACB}} = {1 \over 6}{a^3}.\)

         \({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{S.MCD}}.\)

Mặt khác

\({{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ACB}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SN} \over {SB}} = {\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}\)

\(\Rightarrow {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}.\)

\({{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ACD}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SD} \over {SD}}={{SM} \over {SA} }= {{a - x} \over a} \)

\(\Rightarrow {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{a - x} \over {2a}}.\)

\({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}} + {V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} + {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \)

\( = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2} + {{a - x} \over {2a}}.\)

Từ đó ta có \({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{x^2} - {\rm{ }}27ax + 14{a^2} = {\rm{ }}0\)

 \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = {7 \over 3}a\text{ ( loại vì theo giả thiết x < a)}\hfill \cr  x = {2 \over 3}a \hfill \cr}  \right.\)   

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí