Bài 16 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

LG 1

Viết phương trình đựờng thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1;2).\) thẳng d₂ đi qua điểm M₁(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = (2;1; - 1).\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 8;4;14) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 70 \ne 0\)

\( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau.

LG 2

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d₂ và song song với d₁. Khi đó \(mp(\alpha )\) qua điểm \({M_2}( - 8;6;10)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha \right):x - 5y - 3z + 68 = 0.\)

LG 3

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d({M_1},\left( \alpha \right) \)

\(= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\)

LG 4

Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

Lời giải chi tiết:

Viết lại phương trình đường thẳng \({d_1},{d_2}\) dưới dạng tham số. Từ đó :

\(M \in {d_1}\) nên M=(t;2-t;-4+2t)

\(N \in {d_2}\) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).\)

Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi \(MN\parallel Ox\) hay hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow i (1;0;0)\) cùng phương, nghĩa là

\(\left\{ \matrix{ t' + t = - 4 \hfill \cr t' + 2t = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 18 \hfill \cr t' = - 22. \hfill \cr} \right.\)

Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :

\(d:\left\{ \matrix{ x = 18 + t \hfill \cr y = - 16 \hfill \cr z = 32. \hfill \cr} \right.\)

LG 5

Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB \(\left( {K \ne B} \right)\) sao cho

\(d\left( {K,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( P \right)} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & A \in {d_1} \Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t), \cr & B \in {d_2} \Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'), \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t). \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow 6t + t' = 16, \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 6t + t' = 16 \hfill \cr t + 6t' = 26 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t' = 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). \)

Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng \(\sqrt {35} \). Phương trình của nó là :

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35.\)

LG 6

Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.