Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Ôn tập cuối năm Hình học

Bài 4 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.


Cho tam giác cân ABC, AB = AC.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A (M không trùng với điểm A).

LG a

Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC.

Lời giải chi tiết:

Nếu gọi E là trung điểm của BC (h.l08a) thì trọng tâm G của tam giác MBC xác định bởi \(\overrightarrow {EG}  = {1 \over 3}\overrightarrow {EM} .\) Từ đó, khi M vạch đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mp(ABC) tại A \(\left( {M \ne \;A} \right)\) thì G vạch đường thẳng \(\Delta \)' vuông góc với mp(ABC) tại trọng tâm D của tam giác ABC (trừ điểm D).

Do AB = AC nên các tam giác vuông MAB, MAC bằng nhau, vậy ME và AE cùng vuông góc với BC. Từ đó trực tâm H của tam giác MBC thuộc ME (h.l08b)

Trong mặt phẳng (AME), đường thẳng vuông góc với ME tại trực tâm H của tam giác MBC cắt AE tại O thì do BC \( \bot \) (AEM) nên BC \( \bot \) OH, từ đó OH \( \bot \) (MBC).

Ta có BM \( \bot \) CH mà BM \( \bot \) OH nên BM  \( \bot \) (OHC), do đó OC \( \bot \) BM, nhưng OC \( \bot \) AM nên OC \( \bot \) (ABM). Vậy OC \( \bot \)AB.

Điểm O thuộc đường cao OC và đường cao AE của tam giác ABC nên O là trực tâm của tam giác ABC.

Như vậy, khi \(M{\rm{ }} \in {\rm{ }}\Delta{\rm{ }}(M \ne A)\) thì H là trực tâm của tam giác MBC khi và chỉ khi H là hình chiếu của trực tâm O của tam giác ABC trên ME.

Vậy quỹ tích của H là đường tròn đường kính OE (bỏ hai điểm O, E) trong mặt phẳng trung trực của BC.

LG b

Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

(h.108b).

 

\({V_{OHBC}} = 2{V_{OHBE}} = {2 \over 3}{S_{OHE}}.BE\)  (vì (OHE) là mặt phăng trung trực của BC) nên VOHBC lớn nhất khi và chỉ khi SOHE lớn nhất.

Tam giác vuông OHE có cạnh huyền OE cố định nên có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi tam giác đó vuông cân, tức HEO = 45° hay AM = AE.

Vậy có hai vị trí của M trên \(\Delta \) để VOHBC đạt cực đại, đó là các điểm M sao cho AM = AE

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua