Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 2. Dãy số

Bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11


Viết 5 số hạng đầu của dãy số, dự đoán công thức tổng quát.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải:

Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\( u_2 = \sqrt {1 + u_1^2} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)

\(u_3= \sqrt {1 + u_2^2}= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)

\(u_4= \sqrt {1 + u_3^2}= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)

\(u_5= \sqrt {1 + u_4^2}= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}\)

Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};\) \( u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\)

LG b

Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị \(u_1;u_2;u_3;u_4;u_5\) dự đoán công thức tổng \(u_n\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)

\( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)

\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)

\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)

\(u_5= \sqrt{13} = \sqrt{5 + 8}\)

...........

Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)

Theo công thức dãy số, ta có:

\(u_{k+1}=  \sqrt{1+u^{2}_{k}}\) \(=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}\)

\( = \sqrt {1 + k + 8} \) \(=\sqrt{(k+1)+8}\).

Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy công thức (1) được chứng minh.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 38 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store