Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học

Bài 4. Hai mặt phẳng song song

Bài 3 trang 71 SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA')\) và \((B'D'C)\) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo \(AC'\) đi qua trọng tâm \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).

c) Chứng minh \({G_{1},{G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn \(AC'\) thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(AA'C'C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A'IO)\) với hình hộp đã cho.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.

b) Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\), gọi \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\). Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).

c) Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.

d) \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(BDD'B'\) là hình bình hành ( vì \(BB'//DD'; BB'=DD' \)).

\(\Rightarrow BD//B'D'\)

Mà \(BD \not\subset \left( {CB'D'} \right)\) nên \(BD // \left( {CB'D'} \right)\).

Tương tự, ta cũng suy ra \(A'B // \left( {CB'D'} \right)\).

Mặt khác: \(BD, A'B\) cắt nhau trong mp \((BDA')\)

\(\Rightarrow (BDA')//(CB'D')\).

Cách 1:

Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\), \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\)

\(\Delta {G_1}OA\) đồng dạng \(\Delta {G_1}A'C'\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac {{G_1}O} {{G_1}A'} = \dfrac{OA} {A'C'} = \dfrac 1 2 \)

\(\Rightarrow \dfrac {A'{G_1}} {A'O} =\dfrac 2 3.\)

Lại có \({G_1} \in A'O\) là đường trung tuyến của \(\Delta BDA'\) \(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm \(\Delta A'BD.\)

Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm \(\Delta B'D'C.\)

Vậy \(AC'\) đi qua \(G_1,G_2\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).

Cách 2:

Gọi \(I = A'C \cap AC'\)

Ta có: \(ABCD\) và \(ACC'A'\) là các hình bình hành, \(O\) và \(I\) lần lượt là giao điểm 2 đường chéo.

Suy ra \(O\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(A'C\).

Xét \(\Delta A'AC\) ta có:

\(A'O, AI\) là trung tuyến, cắt nhau tại \({G_1}\)

\( \Rightarrow{G_1}\) là trọng tâm \(\Delta A'AC\)

\( \Rightarrow{A'G_1} = \frac {2}{3} A'O\).

Mà \(A'O\) cũng là trung tuyến của \(\Delta A'BD\)

\( \Rightarrow{G_1}\) là trọng tâm \(\Delta A'BD\).

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \({G_2}\) là trọng tâm \(\Delta CB'D'\).

Ta có:

\( \dfrac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C'}}\) = \( \dfrac{AO}{A'C'} = \dfrac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_1OA\) đồng dạng \(\Delta G_1 A'C'\)) \( \Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\).

\( \dfrac{C'{G_{2}}^{}}{{G_{2}A}^{}}\) = \( \dfrac{C'O'}{CA} = \dfrac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_2C'O'\) đồng dạng \(\Delta G_2 AC\)) \( \Rightarrow C'{G_2} = \dfrac{1}{3}AC'\).

Từ đó suy ra: \( AG_{1} = G_{1}G_{2}= G_{2}C'\)

d) Vì \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\) suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \((A'IO)\) là thiết diện khi cắt bởi mp\((AA'C'C)\), chính là hình bình hành \(AA'C'C\).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 42 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 71 SGK Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD
Bài 2 trang 71 SGK Hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'
Bài 1 trang 71 SGK Hình học 11
Hãy xác định giao điểm D' của đường thẳng d với mặt phẳng (A'B'C')
Câu hỏi 3 trang 68 SGK Hình học 11
Giải câu hỏi 3 trang 68 SGK Hình học 11. Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng...
Câu hỏi 2 trang 65 SGK Hình học 11
Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC)....
Câu hỏi 1 trang 64 SGK Hình học 11
Cho hai mặt phẳng song song α và β. Đường thẳng d nằm trong α (h.2.47). Hỏi d và β có điểm chung không?...
Lý thuyết hình lăng trụ, hình hộp và hình chóp cụt
Hình lăng trụ gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau
Lý thuyết định nghĩa tính chất của hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung