Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12


Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

LG a

a) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 24}} {\tan ({\pi  \over 4} - 4x)dx} \) (đặt \(u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(\displaystyle u = \cos ({\pi  \over 3} - 4x)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\tan \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)dx}  \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}dx} \)

Đặt \(u = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)\) \( \Leftrightarrow du = 4\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} \Rightarrow u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{du}}{{4u}}}  = \left. {\frac{1}{4}\ln \left| u \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{4}\left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\ln \sqrt 3 \)

LG b

b) \(\displaystyle \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \) (đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \dfrac{3}{5}\tan t \) \( \displaystyle \Leftrightarrow dx = \frac{3}{{5{{\cos }^2}t}}dt = \frac{3}{5}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{5}}^{\frac{3}{5}} {\frac{{dx}}{{9 + 25{x^2}}}} \) \(\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt}}{{5\left( {9 + 25.\frac{9}{{25}}{{\tan }^2}t} \right)}}} \)

\(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}{{5.9\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}dt} \) \(\displaystyle = \frac{1}{{15}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. {\frac{t}{{15}}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{{180}}\)

LG c

c) \(\displaystyle \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\) (đặt \(u = \cos x\))

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \cos x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx}  \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){{\cos }^4}x\sin xdx} \)

Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow u = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow I = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du} \) \(= \int\limits_0^1 {\left( {{u^4} - {u^6}} \right)du}\)

\(\displaystyle I = \left. {\left( {\frac{{{u^5}}}{5} - \frac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 = \frac{2}{{35}}\)

LG d

d) \(\displaystyle \int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi  \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \) )

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x}  \Leftrightarrow {u^2} = 1 + \tan x \) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2udu = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.2udu}  = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} \) \(\displaystyle = 2\left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{2}{3}.2\sqrt 2  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store