Bài 4.11 trang 157 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.11 trang 157 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát là:...

Đề bài

Cho dãy số \(\displaystyle \left( {{b_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \(\displaystyle {b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\displaystyle \alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \). Tìm giới hạn của \(\displaystyle \left( {{b_n}} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhận xét \(\lim {b_n}\) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn và sử dụng công thức đó tính toán.

Lời giải chi tiết

Dãy số: \(\displaystyle \sin \alpha ,...,{\sin ^n}\alpha ,...\) với \(\displaystyle \alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \), là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(\displaystyle q = \sin \alpha \) 

Vì \(\displaystyle \left| {\sin \alpha } \right| < 1\) với \(\displaystyle \alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \) nên \(\displaystyle \left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Hơn nữa, \(\displaystyle {b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  = {S_n}\)

Do đó, \(\displaystyle \lim {b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  + ...\) \(\displaystyle = {{\sin \alpha } \over {1 - \sin \alpha }}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Giới hạn của dãy số

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài