Bài 3.52 trang 163 SBT hình học 11


Giải bài 3.52 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC...

Đề bài

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).

b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).

c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Mà \(\Delta OBC\) vuông cân tại O nên \(OI \bot BC\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAI} \right)\).

Mà \(BC \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {OAI} \right)\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot OI\\BI \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {OAI} \right)\)

\( \Rightarrow I\) là hình chiếu của B trên \(\left( {OAI} \right)\).

Mà \(BA \cap \left( {OAI} \right) = A\) nên \(AI\) là hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {OAI} \right)\).

Do đó góc giữa AB và (OAI) bằng góc giữa AB và AI hay là góc \(\widehat {BAI}\).

Tam giác ABC có: \(AB = BC = AC\) do các tam giác vuông cân OAB,OAC,OBC bằng nhau.

Do đó ABC là tam giác đều nên \(\widehat A = {60^0}\)

I là trung điểm BC nên AI là phân giác góc A nên \(\widehat {BAI} = \dfrac{1}{2}\widehat A = {30^0}\).

c) Gọi J là trung điểm OC, khi đó IJ//OB

Do \(OB \bot \left( {OAC} \right)\) nên \(IJ \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow IJ \bot AJ\) hay tam giác \(AIJ\) vuông tại J.

Vậy góc giữa AI và OB bằng góc giữa AI và IJ hay góc \(\widehat {AIJ}\).

Có \(IJ = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{a}{2}\).

\(AJ = \sqrt {O{A^2} + O{J^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Tam giác AIJ vuông tại J nên \(\tan \widehat {AIJ} = \dfrac{{AJ}}{{IJ}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}:\dfrac{a}{2} = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow \widehat {AIJ} = {65^0}54'\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài