Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Ôn tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông ..

Bài 3.48 trang 162 SBT hình học 11


Giải bài 3.48 trang 162 sách bài tập hình học 11. Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = (a√3)/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a...

Đề bài

Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = (a√3)/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.

a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.

b) Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuông SOB và AOB có cạnh OB chung và SB=AB=a nên bằng nhau.

Do dó SO=OA=OC nên tam giác SAC vuông tại S.

Mặt khác, vì \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SO\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow BD \bot SC\).

b) Gọi I là trung điểm SA.

Vì BS=BA=a nên tam giác BSA cân tại B \( \Rightarrow BI \bot SA\).

Vì DS=DA=a nên \(DI \bot SA\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\) nên góc giữa (SAB) và (SAD) là \(\widehat {BID}\).

Trong tam giác vuông AOB có:

\(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) (vì \(OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\))

Vì SO=OA nên \(OI = \dfrac{{OA\sqrt 2 }}{2}\) \( = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Do đó \(OI = OB = OD\) nên tam giác IBD vuông tại I hay \(\widehat {BID} = {90^0}\)

Vậy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

Tương tự có \(\left( {SCB} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

c) Dễ thấy \(OI \bot SA\) do tam giác SOA cân tại O.

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot OI\)

Do đó OI là đoạn vuông góc chung của BD và SA.

Vậy \(d\left( {BD,SA} \right) = OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 3.49 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.49 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC....

  • Bài 3.50 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.50 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh tam giác SBC vuông...

  • Bài 3.51 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.51 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠BAD = 60^0, SA = SB = SD = a...

  • Bài 3.52 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.52 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC...

  • Bài 3.53 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.53 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD)...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store