Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác phương trình..

Bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.54 trang 41 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tập giá trị của hàm số y=...

Đề bài

Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là

A. \(\left[{2;5}\right]\)

B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)

C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)

D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).

- Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

\(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)

\(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)

\(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

\(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Lời giải chi tiết

Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\) 

Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

\(=3+\sqrt{3}\)

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge \dfrac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).

Cách trắc nghiệm:

Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store