Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác phương trình..

Bài 1.52 trang 40 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.52 trang 40 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau...

Đề bài

Giải phương trình sau

\(\cot x - 1 = \)

\(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

ĐKXĐ của hàm số dạng \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) là \(g(x) \ne 0\).

Sử dụng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\); \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\); \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\); \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) để đưa phương trình về phương trình của hàm \(\tan x\).

Sau đó ta đặt \(t = \tan x\) để phương trình dễ nhìn hơn.

Sử dụng hằng đẳng thức số ba \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\) để thu gọn phương trình.

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne  - 1\).

Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\);

\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);

\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x =  - \sin x\cos x\\ =  - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x =  - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\)

Phương trình \(\cot x - 1  \)

\(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \)

\(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\)

Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \in \mathbb{Z}\).

Cách khác:

Điều kiện của phương trình: sinx ≠ 0, cos ≠ 0, tan ≠ -1.

Biến đổi tương đương đã cho, ta được

Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| ≥ √2.

Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ,k ∈ Z ⇒ x = π/4+ k π/2,k ∈ Z.

Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n ∈ Z bị loại do điều kiện tanx ≠ -1.

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \in \mathbb{Z}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store