Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Ôn tập chương IV - Số phức

Câu 4.55 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Trong mặt phằng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 (giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E). Kí hiệu \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E.

LG a

Chứng minh rằng \(1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm của phương trình \({z^5} - 1 = 0\) và \({z_1} + {1 \over {{z_1}}} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\)

Giải chi tiết:

\({z_1} = \cos {{2\pi } \over 5} + i\sin {{2\pi } \over 5},{z_2} = \cos {{4\pi } \over 5} + i\sin {{4\pi } \over 5}\)

   \({z_3} = \cos {{6\pi } \over 5} + i\sin {{6\pi } \over 5},{z_4} = \cos {{8\pi } \over 5} + i\sin {{8\pi } \over 5}\)

Từ đó theo công thức Moa-vrơ, \(1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là nghiệm các phương trình \({z^5} - 1 = 0\) (đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5).

\({z_1} + {1 \over {{z_1}}} = {z_1} + {\bar z_1} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\)

LG b

Viết \({z^5} - 1 = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1} \right)\) rồi đưa phương trình \({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\) về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ \({\rm{w}} = z + {1 \over z}\). Từ đó suy ra \(\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 4}\)

Giải chi tiết:

Với \(z \ne 0,\)

\({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = {z^2}\left( {{z^2} + {1 \over {{z^2}}} + z + {1 \over z} + 1} \right)\)

\( = {z^2}\left( {{{\left( {z + {1 \over z}} \right)}^2} + \left( {z + {1 \over z}} \right) - 1} \right) \)

\(= {z^2}\left( {{{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1} \right)\), trong đó \({\rm{w}} = z + {1 \over z}\)

Phương trình \({{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({{ - 1 \pm \sqrt 5 } \over 2}\)

Vì \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm của phương trình \({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\) tức là nghiệm của phương trình:

\({\left( {z + {1 \over z}} \right)^2} + \left( {z + {1 \over z}} \right) - 1 = 0\) và \({z_4} = {\bar z_1} = {1 \over {{z_1}}},{z_3} = {\bar z_2} = {1 \over {{z_2}}}\)  nên \({z_1} + {1 \over {{z_1}}},{z_2} + {1 \over {{z_2}}}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \({{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\)

Từ đó suy ra \(2\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}\) (còn \(2\cos {{4\pi } \over 5} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)) để ý rằng \(\cos {{2\pi } \over 5} > 0,\cos {{4\pi } \over 5} < 0\) (h.4.14)

             

                               

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua