Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12


Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Sau khi xác định được tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD tính bán kính R của mặt cầu đó và sử dụng các công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết

Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(\Delta\).

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \(SO = \displaystyle {a \over 2} < OC\) nên tâm \(I\) của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của \(SO\).

Ta có: \(SI = IC \Rightarrow \displaystyle {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \)

\( \Rightarrow {\left( \displaystyle {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} +\displaystyle  {{{a^2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + \displaystyle {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow OI = \displaystyle {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = \displaystyle {{3a} \over 4}\)

Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(SO\) mà \(SI = R =\) \(\displaystyle {{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \displaystyle {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt)

Thể tích của khối cầu là: \(V = \displaystyle {4 \over 3}\pi {R^3} = \displaystyle {9 \over {16}}{\pi a^3}\) (đvdt)

Cách khác:

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
  • Bài 7 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 7 trang 50 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.

  • Bài 1 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 1 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD

  • Bài 2 trang 51 SGK Hình học 12

    Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

  • Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 3 trang 51 SGK Hình học 12. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c.

  • Bài 4 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 4 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian

  • Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 5 trang 51 SGK Hình học 12. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

  • Bài 6 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 6 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

  • Bài 7 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 7 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC.

  • Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 8 trang 52 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD

  • Bài 9 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 9 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón.

  • Bài 10 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 10 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

  • Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 11 trang 53 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r. Gọi O, O' là tâm của hai đáy với OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O'

  • Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 12 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng:

  • Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 13 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a.

  • Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 14 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón.

  • Bài 15 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 15 trang 54 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

  • Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 16 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ.

  • Bài 17 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 17 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ.

  • Bài 18 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 18 trang 54 SGK Hình học 12. Cho ba điểm A, C, B nằm trên một mặt cầu.

  • Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 5 trang 50 SGK Hình học 12. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

  • Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 4 trang 50 SGK Hình học 12. Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.

  • Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 3 trang 50 SGK Hình học 12. Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau

  • Bài 2 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 2 trang 50 SGK Hình học 12. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC

  • Bài 1 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 1 trang 50 SGK Hình học 12. Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và cho biết (widehat {ACB}) = 900. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài