Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12


Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục \(d\) của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực \((P)\) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết

Giả sử ta có hình chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) với \({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) là đa giác đáy.

Ta có: \(S{A_1} = S{A_2} = S{A_3} = ... = S{A_n}\)

Kẻ  \(SH\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Dễ thấy: \(\Delta \;SH{A_1} = \Delta \;SH{A_2} = \Delta \;SH{A_3} = ... = \Delta \,SH{A_n}\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow H{A_1} = H{A_2} = H{A_3} = ... = H{A_n}\) 

\( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy \({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\)

Xét tam giác \(\Delta \,SH{A_1}\), kẻ đường trung trực của cạnh \(S{A_1}\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I\)

\(\Rightarrow IA = IS\).

Xét \(\Delta \;SI{A_1},\Delta \;SI{A_2},\Delta \;SI{A_3},...,\Delta \,SI{A_n}\) ta có:

\(\left. \begin{array}{l}
IS \text{ chung} \\
S{A_1} =S{A_2} = ... = \,S{A_n}\\
\widehat {SI{A_1}} =\widehat {SI{A_2}} = ... = \widehat {SI{A_n}}
\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \Delta SI{A_1} = \Delta SI{A_2} = ... = \Delta SI{A_n}\)

\( \Rightarrow I{A_1} = \;I{A_2} = \;I{A_3} = ... = \,I{A_n} = IS\)

 hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp, do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 10 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.