Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau

Đề bài

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục $d$ của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực $(P)$ của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định $I = \left( P \right) \cap d$ , khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết

Giả sử ta có hình chóp $S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ với ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ là đa giác đáy.

Ta có: $S{A_1} = S{A_2} = S{A_3} = ... = S{A_n}$

Kẻ $SH$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Dễ thấy: $\Delta \;SH{A_1} = \Delta \;SH{A_2} = \Delta \;SH{A_3} = ... = \Delta \,SH{A_n}$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow H{A_1} = H{A_2} = H{A_3} = ... = H{A_n}$

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$

Xét tam giác $\Delta \,SH{A_1}$ , kẻ đường trung trực của cạnh $S{A_1}$ , đường này cắt $SH$ ở điểm $I$

$\Rightarrow IA = IS$ .

Xét $\Delta \;SI{A_1},\Delta \;SI{A_2},\Delta \;SI{A_3},...,\Delta \,SI{A_n}$ ta có:

$\left. \begin{array}{l} IS \text{ chung} \\ S{A_1} =S{A_2} = ... = \,S{A_n}\\ \widehat {SI{A_1}} =\widehat {SI{A_2}} = ... = \widehat {SI{A_n}} \end{array} \right\}$

$\Rightarrow \Delta SI{A_1} = \Delta SI{A_2} = ... = \Delta SI{A_n}$

$\Rightarrow I{A_1} = \;I{A_2} = \;I{A_3} = ... = \,I{A_n} = IS$

hay điểm $I$ cách đều các đỉnh của hình chóp, do đó $I$ là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 10 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Bài 7 trang 50 SGK Hình học 12
Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.
Bài 1 trang 51 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD
Bài 2 trang 51 SGK Hình học 12
Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c.
Bài 4 trang 51 SGK Hình học 12
Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian
Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
Bài 6 trang 52 SGK Hình học 12
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
Bài 7 trang 52 SGK Hình học 12
Giải bài 7 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC.
Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD
Bài 9 trang 52 SGK Hình học 12
Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón.
Bài 10 trang 52 SGK Hình học 12
Giải bài 10 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r. Gọi O, O' là tâm của hai đáy với OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O'
Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng:
Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12
Giải bài 13 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a.
Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12
Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón.
Bài 15 trang 54 SGK Hình học 12
Giải bài 15 trang 54 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12
Giải bài 16 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ.
Bài 17 trang 54 SGK Hình học 12
Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ.
Bài 18 trang 54 SGK Hình học 12
Cho ba điểm A, C, B nằm trên một mặt cầu.
Bài 2 trang 50 SGK Hình học 12
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC
Bài 1 trang 50 SGK Hình học 12
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và cho biết (widehat {ACB}) = 900. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.