SGK Toán lớp 12 Ôn tập chương II - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12


Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\).

LG a

a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).

Phương pháp giải:

+ Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) và suy ra \(HB = HC = HD\).

+ Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn \(AH\).

Lời giải chi tiết:

Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.

Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}\)

=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)

Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Do \(\Delta BCD\) đều nên \(BI  = BC\sin {60^0}= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);

Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) \(={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\).

Vậy \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)

LG b

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Ôn tập chương II - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

  • Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 6 trang 50 SGK Hình học 12. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

  • Bài 7 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 7 trang 50 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.

  • Bài 1 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 1 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD

  • Bài 2 trang 51 SGK Hình học 12

    Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

  • Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 3 trang 51 SGK Hình học 12. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c.

  • Bài 4 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 4 trang 51 SGK Hình học 12. Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian

  • Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12

    Giải bài 5 trang 51 SGK Hình học 12. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

  • Bài 6 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 6 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

  • Bài 7 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 7 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC.

  • Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 8 trang 52 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD

  • Bài 9 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 9 trang 52 SGK Hình học 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón.

  • Bài 10 trang 52 SGK Hình học 12

    Giải bài 10 trang 52 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

  • Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 11 trang 53 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r. Gọi O, O' là tâm của hai đáy với OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O'

  • Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 12 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng:

  • Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 13 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a.

  • Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12

    Giải bài 14 trang 53 SGK Hình học 12. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón.

  • Bài 15 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 15 trang 54 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

  • Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 16 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ.

  • Bài 17 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 17 trang 54 SGK Hình học 12. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ.

  • Bài 18 trang 54 SGK Hình học 12

    Giải bài 18 trang 54 SGK Hình học 12. Cho ba điểm A, C, B nằm trên một mặt cầu.

  • Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 4 trang 50 SGK Hình học 12. Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.

  • Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 3 trang 50 SGK Hình học 12. Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau

  • Bài 2 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 2 trang 50 SGK Hình học 12. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC

  • Bài 1 trang 50 SGK Hình học 12

    Giải bài 1 trang 50 SGK Hình học 12. Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và cho biết (widehat {ACB}) = 900. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store
Hỏi bài

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua