Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón

Bài 43 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 43 trang 62 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó...

Đề bài

Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đó.

Lời giải chi tiết

Xét mp(P) qua trục SO của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, (P) cắt mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón theo các đường tròn có bán kính lần lượt là R và r.

Các đường tròn này ngoại tiếp và nội tiếp tam giác cân SAB.

Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) là thể tích của các hình cầu đã nêu thì \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {\left( {{R \over r}} \right)^3}.\)

Đặt  \(\widehat {SAB}\) =\(\alpha \) và gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta SAB\) thì

\(2R = \) \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {{\rm{AS}}B}}}\)=\({{AB} \over {\sin 2\alpha }}\) và \(r = IO = {{AB} \over 2}\tan {\alpha  \over 2}.\)

Từ đó \({R \over r} = {1 \over {\sin 2\alpha \tan {\alpha  \over 2}}}.\)

Mặt khác \(\tan \alpha  = {{SO} \over {AO}} = 2,\) vậy

\(\eqalign{  & \sin 2\alpha  = {{2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {4 \over 5};2 = \tan \alpha  = {{2\tan {\alpha  \over 2}} \over {1 - {{\tan }^2}{\alpha  \over 2}}}  \cr  &  \Rightarrow \tan {\alpha  \over 2} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2} \cr} \)

( do \(\tan {\alpha  \over 2} > 0)\).

Như vậy \({R \over r} = {{5\left( {\sqrt 5  + 1} \right)} \over 8},\) tức là \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{125{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}} \over {512}} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store