Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón

Bài 38 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 38 trang 62 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat B\) = 600. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là \(\beta .\)

LG 1

Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Lời giải chi tiết:

Đáy hình nón trong bài toán là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường cao hình nón là SO (S là đỉnh của hình chóp ).

Gọi I là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) thì \(OI \bot BC\) và \(SI \bot BC\) nên \(\widehat {SIO}\) =\(\beta .\)

Khi đó, chiều cao hình nón là

\(h = SO = OI\tan \beta  = r\tan \beta ,\)

Độ dài đường sinh hình nón là

\(l = SI = {{OI} \over {\cos \beta }} = {r \over {\cos \beta }}.\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

\({S_1} = \pi rl = \pi r.{r \over {\cos \beta }} = {{\pi {r^2}} \over {\cos \beta }}.\)

Thể tích hình nón là

\({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {r^2}.r.\tan \beta  = {1 \over 3}\pi {r^3}\tan \beta .\)

LG 2

Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy ba đường cao của ba mặt bên hình chóp S.ABC bằng nhau và cùng bằng SI.

Diện tích xung quanh của hình chóp là

\({S_2} = {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right).SI\)

Mặt khác \(AC = AB\sqrt 3 ,BC = 2AB,\)

\(\eqalign{  & {S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}A{B^2}\sqrt 3 ,  \cr & {S_{\Delta ABC}}= {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right).r \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right).AB.r. \cr} \)

Từ đó \(AB = \left( {\sqrt 3  + 1} \right)r.\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là

\(\eqalign{  & {S_2} = {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)AB.SI \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)r.{r \over {\cos \beta }}  \cr  &  \;\;\;\;\;= {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}{{{r^2}} \over {\cos \beta }}. \cr} \)

Thể tích hình chóp S.ABC là

\({V_2} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AB.AC.SO = {{\sqrt 3 } \over 6}A{B^2}.SO,\) từ đó

\(\eqalign{  {V_2} &= {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}{r^2}.r\tan \beta   \cr  &  = {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}{r^3}\tan \beta . \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store