Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón

Bài 36 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 36 trang 61 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất ...

Đề bài

Tìm hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn bán kính a cho trước.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu bán kính đáy và chiều cao hình nón lần lượt là x và y (x, y > 0). Khi đó, diện tích toàn phần của hình nón là

\(\pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \pi {x^2},\)

Theo gia thiết ta có

\(\eqalign{  & \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \pi {x^2} = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + {x^2} = {a^2}  \cr  &  \cr} \)

\( \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = {a^2} - {x^2}\) (điều kiện x < a)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {x^2}({x^2} + {y^2}) = {a^4} + {x^4} - 2{a^2}{x^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2}{y^2} = {a^4} - 2{a^2}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}} \cr} \)

Khi đó thể tích khối nón là

\(V = {1 \over 3}\pi {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}}.y = {{\pi {a^4}} \over 3}.{y \over {{y^2} + 2{a^2}}}.\)

Từ đó V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y} = y + {{2{a^2}} \over y} \ge 2\sqrt {y.{{2{a^2}} \over y}}  = 2\sqrt 2 a.\)

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(y = {{2{a^2}} \over y},\) tức là \(y = a\sqrt 2 \), lúc đó \(x = {a \over 2}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store