Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón

Bài 35 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 35 trang 61 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG 1

Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y \((0 < x \le R,0 < y < 2R).\)

Gọi SS’ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón ta có

\({x^2} = y\left( {2R - y} \right).\)

Gọi V1 là thể tích khối nón thì

\(\eqalign{  & {V_1} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi y.y(2R - y)  \cr  &  = {\pi  \over 6}\left( {4R - 2y} \right).y.y  \cr  &  \le {\pi  \over 6}{\left( {{{4R - 2y + y + y} \over 3}} \right)^3} = {{32\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)

Vậy thể tích \({V_1}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({{32\pi {R^3}} \over {81}}\) khi và chỉ khi 4R-2y=y

\( \Leftrightarrow y = {{4R} \over 3},\) từ đó \({x^2} = {{4R} \over 3}\left( {2R - {{4R} \over 3}} \right) = {{8{R^2}} \over 9}\) hay \(x = {{2R\sqrt 2 } \over 3}.\)

LG 2

Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước.

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB (H.79b)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y (x > 0, y > 2r) thì

\(\left( {AH + SA} \right)r = {1 \over 2}AB.SH\)

\( \Leftrightarrow (x + \sqrt {{x^2} + {y^2}} )r = xy \Leftrightarrow {x^2} = {{{r^2}y} \over {y - 2r}},\)

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là

\({V_2} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi {r^2}.{{{y^2}} \over {y - 2r}}.\)

Ta có

\(\eqalign{  & {{{y^2}} \over {y - 2r}} = {{{y^2} - 4{r^2} + 4{r^2}} \over {y - 2r}} = y + 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}}  \cr  &  = y - 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}} + 4r  \cr  &  \ge 2\sqrt {(y - 2r).{{4{r^2}} \over {y - 2r}}}  + 4r = 8r. \cr} \)

Từ đó \({V_2} \ge {1 \over 3}\pi .8{r^3},\) tức là \({V_2}\) đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi

\(y - 2r = {{4{r^2}} \over {y - 2r}} \Leftrightarrow y = 4r,\)

Từ đó \(x = r\sqrt 2 .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store