Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón

Bài 39 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 39 trang 62 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc ...

Đề bài

Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. (C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện tích hai phần đó biết diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là x, y (x, y > 0), bán kính mặt cầu nội tiếp là r, dễ tính được

\(r = {{xy} \over {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + x}}.\)

Vì diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón nên ta có : \(4\pi {r^2} = \pi {x^2} \Leftrightarrow x = 2r,\) lúc đó

\(r = {{2ry} \over {\sqrt {{y^2} + 4{r^2}}  + 2r}} \Leftrightarrow r = {{3y} \over 8}.\)

Gọi IJ là bán kính của đường tròn (C ),

\(\Delta {\rm{IJ}}O\) \( \sim \Delta HSA\) (g.g), ta có

\({{{\rm{IJ}}} \over {HS}} = {{{\rm{OJ}}} \over {AS}} \Leftrightarrow IJ = {{SH.{\rm{OJ}}} \over {SA}} = {{y.r} \over {\sqrt {{y^2} + {x^2}} }}.\) Thay \(r = {{3y} \over 8},x = 2r\) vào hệ thức trên, ta được

\({\rm{IJ}} = {{y.{{3y} \over 8}} \over {\sqrt {{y^2} + {{9{y^2}} \over {16}}} }} = {{3y} \over {10}}.\)

Kí hiêu diện tích phần thứ nhất của mặt xung quanh hình nón ( phần có chứa đỉnh của hình nón ) là S1 và diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}}\) thì

\({{{S_1}} \over {{S_{xq}}}} = {\left( {{{{\rm{IJ}}} \over {HA}}} \right)^2} = {{{{\left( {{{3y} \over {10}}} \right)}^2}} \over {4{{\left( {{{3y} \over 8}} \right)}^2}}} = {4 \over {25}}.\)

Kí hiệu diện tích phần thứ hai của mặt xung quanh hình nón là \({S_2}\) thì

\({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {1 \over {{{{S_2}} \over {{S_1}}}}} = {1 \over {{{{S_{xq}} - {S_1}} \over {{S_1}}}}} = {1 \over {{{25} \over 4} - 1}} = {4 \over {21}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store