-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11
-
HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
-
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
-
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
-
ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11
-
-
Câu hỏi tự luyện Toán 11
-
TẢI 50 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 11
-
TẢI 30 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 11
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 11
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 11
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 11
Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học
Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc...
Đề bài
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);
b) \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(AB \bot CH;\,\,BC \bot AH\).
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\).
Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\)
\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OH\\
BC \bot OA\\
OA \cap OH = O
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)
Mà \(AH \subset \left( {OAH} \right)\) \(\Rightarrow BC ⊥ AH\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot OA\\OB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right)\)
Mà \(AC \subset \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC\)
\(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AC\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right)\) \( \Rightarrow AC \bot BH\) (2)
Từ (1) và (2) ta có tam giác \(ABC\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
BH \bot AC\\
AH \cap BH = H
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
b) Trong mặt phẳng \((ABC)\) gọi \(E = AH ∩ BC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left( {ABC} \right)\\
AE \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot AE\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\OE \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OE\) \( \Rightarrow \Delta OAE\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\) (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(OAE\))
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\OE \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot OE\)
Mà \(OB \bot OC\) nên \(\Delta OBC\) vuông tại \(O\) có \(OE\) là đường cao.
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)
Vậy \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (đpcm).
Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 5 trang 105 SGK Hình học 11
- Bài 6 trang 105 SGK Hình học 11
- Bài 7 trang 105 SGK Hình học 11
- Bài 8 trang 105 SGK Hình học 11
- Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
