Bài 1 trang 103 SGK Đại số và Giải tích 11


Đề bài

Chứng minh các dãy số \(\left( {\frac{3}{5}{{.2}^n}} \right),{\rm{ }}\left( {\frac{5}{{{2^n}}}} \right),{\rm{ }}{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n}\) là các cấp số nhân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{3}{5}{.2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{.2^1} = \dfrac{6}{5}\)

Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{.2^{n + 1}} \) \(\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{.2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{.2}^n}}} \) \(= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}.2}}{{{2^n}}} = 2\) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{6}{5}\) và \(q = 2\).

+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}.2}} = \dfrac{1}{2} \) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{5}{2}\)  và \(q= \dfrac{1}{2}\)

+) Ta có: \({u_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n} \Rightarrow {u_1} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} =  - \dfrac{1}{2}\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}=  - \dfrac{1}{2} \) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{-1}{2}\) và \(q= \dfrac{-1}{2}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 280 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.