Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 2.28 trang 77 SBT hình học 11

Giải bài 2.28 trang 77 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo, \(AC = a\), \(BD = b\), tam giác \(SBD\) đều. Gọi \(I\) là điểm di động trên đoạn \(AC\) với \(AI=x\) \((0<x<a)\). Lấy \(\alpha\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và song song với mặt phẳng \((SBD)\).

LG a

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\alpha\) với hình chóp \(S.ABCD\)

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của mẳt phẳng \((\alpha)\) với mộ thình chóp khi biết \((\alpha)\) song song với một mặt phẳng nào đó trong hình chóp.

- Sử dụng tính chất khi \((\alpha)\) song song với \((\beta)\) thì \((\alpha)\) sẽ song song với mọi đường thẳng thuộc \((\beta)\).

- Tìm đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((\beta)\).

- Vì \((\alpha)\parallel d\) nên \((\alpha)\) cắt những mặt phẳng chứa \(d\) theo các giao tuyến song song với \(d\).

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(I\) thuộc đoạn \(AO\) \((0<x<\dfrac{a}{2})\).

Khi đó \(I\) nằm ở vị trí \(I_1\).

Ta có: \((\alpha)\parallel (SBD)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel BD\\(\alpha )\parallel SO\end{array} \right.\)

Vì \((\alpha)\parallel BD\) nên \((\alpha)\) cắt \((ABD)\) theo giao tuyến \(M_1N_1\) qua \(I_1\) song song với \(BD\).

Vì \((\alpha)\parallel SO\) nên \((\alpha)\) cắt \((SOA)\) theo giao tuyến \(S_1I_1\) song song với \(SO\).

Nên ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác \(S_1M_1N_1\).

Trường hợp 2: \(I\) thuộc đoạn \(OC\) \((\dfrac{a}{2}<x<a)\).

Khi đó \(I\) nằm ở vị trí \(I_2\).

Tương tự thiết diện trong trường hợp này là tam giác \(S_2M_2N_2\) trong đó \(M_2N_2\parallel BD\), \(S_2M_2\parallel SB\), \(S_2N_2\parallel SD\).

Trường hợp 3: \(I\equiv O\) khi đó thiết diện là tam giác \(SBD\).

LG b

Tìm diện tích \(S\) của thiết diện ở câu a) theo \(a\), \(b\), \(x\). Tìm \(x\) để \(S\) lớn nhất

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích hai cạnh kề nhân \(sin\) góc xen giữa để tính điên tích tam giác.

Sử dụng giả thiết đề bài cho là \(SBD\) là tam giác đều.

Sử dụng tỉ lệ diện tích để tính.

Vẽ đồ thị hàm số dạng Parabol \(y=x^2\).

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(I\) thuộc đoạn \(OA\) \((0<x<\dfrac{a}{2})\)

Ta có: \(\dfrac{S_{S_1M_1N_1}}{S_{SBD}}={\left({\dfrac{M_1N_2}{BD}}\right)}^2={\left({\dfrac{2x}{a}}\right)}^2\)

\(\Rightarrow S_{S_1M_1N_1}={\left({\dfrac{M_1N_1}{BD}}\right)}^2S_{SBD}\)

\(=\dfrac{4x^2}{a^2}.\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{b^2x^2\sqrt{3}}{a^2}\).

Trường hợp 2: \(I\) thuộc đoạn \(OA\) \((\dfrac{a}{2}<x<a)\)

Ta có: \(\dfrac{S_{S_1M_1N_1}}{S_{SBD}}={\left({\dfrac{M_1N_2}{BD}}\right)}^2\)

\(={\left[{\dfrac{2(a-x)}{a}}\right]}^2\)

\(\Rightarrow S_{S_2M_2N_2}={\left({\dfrac{M_2N_2}{BD}}\right)}^2S_{SBD}\)

\(=\dfrac{4{(a-x)}^2}{a^2}.\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{b^2{(a-x)}^2\sqrt{3}}{a^2}\).

Trường hợp 3. \(I\equiv O\) \(S_{SBD}=\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}\).

Vậy \({S_\text{thiết diện}} \)

\(= \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\text{ nếu }0 < x < \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\text{ nếu } x= \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{b^2}{{(a - x)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\text{ nếu }\dfrac{a}{2} < x < a\end{array} \right.\)

Đồ thị của hàm số \(S\) theo biến \(x\) như sau:

Vậy \({S_\text{thiết diện}} \) lớn nhất là \(b^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) khi và chỉ khi \(x=\dfrac{a}{2}\).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2.29 trang 77 SBT hình học 11
Giải bài 2.29 trang 77 sách bài tập hình học 11. Tính độ dài A’B’, B’C’...
Bài 2.30 trang 78 SBT hình học 11
Giải bài 2.30 trang 78 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho...
Bài 2.31 trang 78 SBT hình học 11
Giải bài 2.31 trang 78 sách bài tập hình học 11. Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By...
Bài 2.27 trang 77 SBT hình học 11
Giải bài 2.27 trang 77 sách bài tập hình học 11. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho...
Bài 2.26 trang 77 SBT hình học 11
Giải bài 2.26 trang 77 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’...
Bài 2.25 trang 77 SBT hình học 11
Giải bài 2.25 trang 77 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’...
Bài 2.24 trang 77 SBT hình học 11
Giải bài 2.24 trang 77 sách bài tập hình học 11. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN...
Bài 2.23 trang 76 SBT hình học 11
Giải bài 2.23 trang 76 sách bài tập hình học 11. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD)...
Bài 2.22 trang 76 SBT hình học 11
Giải bài 2.22 trang 76 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G1G2G3)//(BCD).