Bài 1.30 trang 38 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.30 trang 38 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau

LG a

\(1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0\)

Phương pháp giải:

Ta rút gọn phương trình bằng cách:

-Sử dụng công thức \({(\sin x-\cos x)}^2\)

\(={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\)

\(=1-\sin 2x\)

-Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x={\cos}^2 x-{\sin}^2 x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\({(\sin x-\cos x)}^2\)

\(={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\)

\(=1-\sin 2x\)

Do đó \(1-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2\)

Khi đó: \(1+\sin x-\cos x-\)

\(\sin 2x+2\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow (1-\sin 2x)+(\sin x-\cos x)+2\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow {(\sin x-\cos x)}^2+(\sin x-\cos x)\)

\(+2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)=0\)

\(\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)[\sin x-\cos x+1\) \(-2(\cos x+\sin x)]=0\)

\(\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(1-\sin x-3\cos x)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\1-\sin x-3\cos x=0 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\cos x \\\sin x+3\cos x=1 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \text{(1)}\\\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\text{(2)} \end{array} \right. \)

\(\text{(1)}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

Giải phương trình \(\text{(2)}\) ta đặt \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\sin\alpha\) và \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\cos\alpha\) ta được \(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow \cos(x-\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\).

LG b

\(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\)

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Nhóm các số hạng với nhau để có nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\)

Ta có: \(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\)

\(\Leftrightarrow (\sin x-{\sin}^2 x)+\)

\({\left({\dfrac{1}{{\sin}^2 x}-\dfrac{1}{\sin x}}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow \sin x(1-\sin x)+\dfrac{1-\sin x}{{\sin}^2 x}=0\)

\(\Leftrightarrow (1-\sin x)({\sin}^3 x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\\sin x=-1 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \\x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG c

\(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ

Sử dụng công thức \(\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\)

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\cos 3x\ne 0\)

\(\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)

Ta có: \(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 5x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)\)

\(=\dfrac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)\)

\(\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 4x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x=4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\8x=\pi-4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là \( x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\).

LG d

\(2{\tan}^2 x+3\tan x+\)

\(2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\) 

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ

Nhóm các số hạng một cách thích hợp để giải phương trình

Thêm bớt \(VT\) để có hằng đẳng thức

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\cos\ne0\) và \(\sin x\ne0\).

Ta có: \(2{\tan}^2 x+3\tan x+\)

\(2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\)

\(\Leftrightarrow (2{\tan}^2 x+2{\cot}^2 x)\)

\(+(3\tan x+3\cot x)+2=0\)

\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2\tan x\cot x]+\)

\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)

\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2]+\)

\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)

Đặt \(\tan x+\cot x=t\) ta được phương trình \(2t^2+3t-2=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-2\\t=\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)

Với \(t=-2\) ta có \(\tan x+\cot x=-2\)

\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2\)

\(\Rightarrow {\tan}^2 x+1=-2\tan x\)

\(\Rightarrow \tan x=-1\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\)

Với \(t=\dfrac{1}{2}\) ta có \(\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2{\tan}^2 x+2=\tan x\text{(Vô nghiệm)}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \( x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài