Bài 1.29 trang 38 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.29 trang 38 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau

LG a

\(2\cos x-\sin x=2\)

Phương pháp giải:

-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)

-Sử dụng công thức \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) để thu gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(2\cos x-\sin x=2\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Ký hiệu \(\alpha\) là góc mà \(\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Ta thu được phương trình

\(\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\cos\alpha\)

\(\Leftrightarrow \cos (x-\alpha)=\cos\alpha\)

\(\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

LG b

\(\sin 5x+\cos 5x=-1\)

Phương pháp giải:

-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)

-Sử dụng công thức \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\sin 5x+\cos 5x=-1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Trong đó \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Ta thu được phương trình

\(\cos \dfrac{\pi}{4}\sin 5x+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos 5x=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\)

\(\Leftrightarrow \sin (5x+\dfrac{\pi}{4})=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\Leftrightarrow\)

\(\left[ \begin{array}{l} 5x+\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-{\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\).

LG c

\(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

Phương pháp giải:

-Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn phương trình.

-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)

-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow 8{\left({\dfrac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2\)

\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow 2(1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x)\)

\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 2x+\sin 4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi}{4}\cos 4x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left({4x+\dfrac{\pi}{4}}\right)}=\sin\dfrac{\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).

LG d

\({\sin}^6 x+{\cos}^6+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

Phương pháp giải:

-Thêm bớt \(VT\) thành hằng đẳng thức.

-Sử dụng công thức nhân đôi.

-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)

-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow ({{\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3\)

\(-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)

\(+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 1-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 1-3{\left({\dfrac{\sin 2x}{2}}\right)}^2+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\dfrac{1-\cos 4x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1\)

Đặt \(\dfrac{3}{5}=\sin\alpha\), \(\dfrac{4}{5}=\cos\alpha\) ta được

\(\sin\alpha\cos 4x+\cos \alpha\sin 4x=-1\)

\(\Leftrightarrow \sin (4x+\alpha)=-1\)

\(\Leftrightarrow 4x+\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)

Vậu phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài