Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 2, 3 : Khái niệm về mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình tr..

Bài 30 trang 60 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 30 trang 60 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình hộp ...

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng 300. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng \({3 \over 2}a\). Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng 5a.

Lời giải chi tiết

Vì hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp hình trụ nên \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ là OO1 ( đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp ) và khoảng cách từ OO1 đến mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\) bằng nửa AD. Từ đó AD = 3a.

BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra

\(A{B^2} = B{D^2} - A{D^2} = 16{a^2}\), tức là AB = 4a,

Dễ thấy  \(\widehat {D{B_1}A}\)  là góc giữa \({B_1}D\) và mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\), theo giả thiết thì  \(\widehat {D{B_1}A}\)  = 300, từ đó \({B_1}D = 2AD = 6a.\)

Vậy \(BB_1^2 = {B_1}{D^2} - B{D^2} \)

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= 36{a^2} - 25{a^2} = 11{a^2} \cr 
& \Rightarrow B{B_1} = a\sqrt {11} \cr} \)

Do đó thể tích hình hộp đã cho là:

\(V = AB.AD.B{B_1} = 4a.3a.a\sqrt {11}  = 12{a^3}\sqrt {11} \)

Gọi O’ là trung điểm của \(O{O_1}\) thì O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và bán kính của mặt cầu đólà \(R = {1 \over 2}{B_1}D = 3a.\)

Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là

\(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}\pi .27.{a^3} = 36\pi {a^3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store