Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 2, 3 : Khái niệm về mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình tr..

Bài 24 trang 58 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 24 trang 58 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình trụ có bán kính bằng R, ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình trụ có bán kính bằng R, trục OO’ bằng h. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua O, tạo với đáy hình trụ góc \(\alpha \) cho trước và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo các dây AB và CD ( dây AB đi qua O).

LG 1

Tính diện tích tứ giác ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của CD thì \(O'I \bot CD\), từ đó \(OI \bot CD\). Vậy \(\alpha  = \widehat {{\rm{OIO'}}}\).

Dễ thấy \(AB//CD\), tức là ABCD là hình thang. Mặt khác \(OI \bot CD\) nên \(OI \bot AB.\)

Vậy ABCD là hình thang cân.

Diện tích S của ABCD được tính bởi

\(S = {1 \over 2}(AB + CD).OI\)

Ta có : \(AB = 2R,OI = {{OO'} \over {\sin \alpha }} = {h \over {\sin \alpha }}.\)

\(\eqalign{  & O'I = OO'\cot \alpha  \cr&\Rightarrow ID = \sqrt {O'{D^2} - O'{I^2}}  = \sqrt {{R^2} - {h^2}{{\cot }^2}\alpha }   \cr  &  \Rightarrow CD = 2\sqrt {{R^2} - {h^2}{{\cot }^2}\alpha }  \cr} \).

Vậy \(S = {1 \over 2}(2R + 2\sqrt {{R^2} - {h^2}{{\cot }^2}\alpha } ).{h \over {\sin \alpha }}\)

\(= (R + \sqrt {{R^2} - {h^2}{{\cot }^2}\alpha } ).{h \over {\sin \alpha }}.\)

LG 2

Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc H của điểm O’ trên (P) thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng (OO’I), kẻ \(O'H \bot OI\) thì H là hình chiếu của O’ trên mp(P).

Xét tam giác vuông O’IH, ta có \(O'H = O'I\sin \alpha  = h.\cot \alpha .\sin \alpha  = h.c{\rm{os}}\alpha {\rm{.}}\)

Kẻ đường cao HJ của tam giác vuông O’HO thì \(O'J.OO' = O'{H^2},\) 

\( \Rightarrow O'J = {{O'{H^2}} \over {OO'}} = h.{\cos ^2}\alpha ,\) từ đó suy ra J là điểm cố định.

Mặt khác \(H{J^2} = O'{H^2} - O'{J^2} \)

\(= {h^2}.{\cos ^2}\alpha  - {h^2}.{\cos ^4}\alpha \)

\(= {h^2}{\cos ^2}\alpha .{\sin ^2}\alpha .\)

Vậy HJ có độ dài không đổi, từ đó ta có điểm H thuộc đường tròn tâm J, bán kính cho trước, trong mặt phẳng vuông góc với OO’ tại J.

Chú ý. Cũng có thể thấy H thuộc mặt trụ T có trục là OO’, bán kính đáy R’ cho trước.

Cụ thể \(R' = h.\cos \alpha .\sin \alpha \), đồng thời H thuộc mặt phẳng vuông góc với trục OO’ tại điểm J.

Từ đó H thuộc đường tròn là giao của mặt trụ T và mặt phẳng nói trên.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store