Lý thuyết nhị thức Niu - Tơn


Tổng hợp lí thuyết Nhị thức Newton ngắn gon, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em nắm bắt các kiến thức cơ bản và nâng cao hiệu quả nhất.

I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Quảng cáo
decumar

Với \(a, b\) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\)

\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1)\)

Ví dụ:

Viết khai triển \({\left( {a + b} \right)^5}\).

Hướng dẫn:

Ta có:

\({\left( {a + b} \right)^5}\)

\( = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}\) \( + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)

\( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}\) \( + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5}\)

2. Quy ước

Với \(a\) là số thực khác \(0\) và \(n\) là số tự nhiên khác \(0\), ta quy ước:

                \(a^0 = 1\); \(a^{-n}= {1 \over {{a^n}}}\).

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện \(a\) và \(b\) đều khác \(0\), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } \)

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \(1\).

- Xét hai số ở cột \(k\) và cột \(k + 1\), đồng thời cùng thuộc dòng \(n\), (\(k ≥ 0; n ≥1\)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \(k + 1\) và dòng \(n + 1\).

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng \(n\) và cột \(k\) là \(C_n^k\)

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

\(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

c) Các số ở dòng \(n\) là các hệ số trong khai triển của nhị thức \({(a + b)}^n\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với \(a, b\) là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng \(4\) là các hệ số trong khai triển của \((a + b)^4\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

\({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^4} \)\(= {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}\)

Loigiaihay.com    


Bình chọn:
4.4 trên 61 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.