Bài 4.40 trang 171 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.40 trang 171 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :...

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

LG a

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)    

\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m.

Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.

LG b

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right]\).

Hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) là hàm số lượng giác có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) nên liên tục trên TXĐ \(\mathbb{R}\) nên cũng liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)

Ta có:

\(f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\) \( =  - 1 - \sqrt 2  < 0\)

\(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\)\( =  - 1 + \sqrt 2  > 0\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) với mọi \(m\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí