Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 4.40 trang 171 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.40 trang 171 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

LG a

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)    

\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m.

Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.

LG b

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right]\).

Hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) là hàm số lượng giác có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) nên liên tục trên TXĐ \(\mathbb{R}\) nên cũng liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)

Ta có:

\(f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\) \( =  - 1 - \sqrt 2  < 0\)

\(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\)\( =  - 1 + \sqrt 2  > 0\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) với mọi \(m\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store