Bài 3.33 trang 131 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.33 trang 131 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG a

Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết có

\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{   }}\left( 1 \right)\)

Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{  }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được

\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} =  - \dfrac{1}{3}.\)

LG b

Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Phương pháp giải:

Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x_n} =  - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\\
\Rightarrow {u_n} - 1 = {x_n}\left( {{u_n} + 3} \right)\\
\Leftrightarrow - 1 - 3{x_n} = {u_n}\left( {{x_n} - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = \frac{{ - 1 - 3{x_n}}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{3{x_n} + 1}}{{1 - {x_n}}}\\
= \frac{{3.\left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] + 1}}{{1 - \left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right]}}\\
= \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}
\end{array}\)

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4: Cấp số nhân

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài