Bài 2.36 trang 79 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 2.36 trang 79 sách bài tập đại số và giải tích 11. Xác định hệ số của số hạng chứa x...

Đề bài

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \)

\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)

\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\).

Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \(n\).

Sau đó thay \(n\) vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\) để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(4\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^4\).

Lời giải chi tiết

Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)

\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)

\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n =  - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 8.\)

Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \)

SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)

\( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\)

\(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\)

Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí