Bài 1.17 trang 24 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.17 trang 24 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình

LG a

\(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\cos a=\cos b\)

Khi đó \(a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos 3x-\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\
3x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5},k\in\mathbb{Z} \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k\in\mathbb{Z} 
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG b

\(\tan x\tan 2x = -1\)

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của \(\tan x\) và \(\tan 2x\) là \(\cos x\ne0\) và \(\cos 2x\ne0\)

Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\)

Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right. \)

Ta có: \(\tan x\tan 2x = -1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\)

\(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=0\)

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

LG c

\(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\)

Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin 3x+\sin 5x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\
2x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} 
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là:

\(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\)

và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Cách khác:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}, k\in\mathbb{Z}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in\mathbb{Z} 
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG d

\(\cot 2x\cot 3x= 1\).

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và \(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\)

Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và \(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\)

Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Ta có: \(\cot 2x\cot 3x = 1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)

\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\)  \(m\in\mathbb{Z}\).

Chú ý:

Một cách loại nghiệm khác như sau:

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \left( {2 + 5m} \right).\frac{\pi }{5}\\
= \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} + m\pi \\
= \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array}\)

nên k = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác định.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài